Rodzina zbiorów - dowód

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
mathac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 22 gru 2008, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy

Rodzina zbiorów - dowód

Post autor: mathac »

Witam, otóż chciałbym prosić o podpowiedz w sprawie dowodu.

Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A_{n} | n \in \NN}\), zachodzi równość
\(\displaystyle{ \bigcup _{n \in \NN} A _{n} = \bigcup _{n \in \NN} B _{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ B _{n}=A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i}}\)

Zrobiłem w ten sposób:

Zał., że \(\displaystyle{ x\in \bigcup _{n \in \NN} A _{n}}\), wtedy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\). Więc
\(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{} A _{i}}\) gdyz \(\displaystyle{ x \in A _{n} \wedge i<n}\). Wobec tego \(\displaystyle{ x \notin A_{i}}\) . Mamy wobec tego że \(\displaystyle{ L \subseteq P}\). Czy to jest dobrze? Oczywiście potem robię analogicznie w druga stronę chodzi mi o to czy dobrze myślę proszę o podpowiedź!
Ostatnio zmieniony 17 paź 2010, o 18:56 przez mathac, łącznie zmieniany 1 raz.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rodzina zbiorów - dowód

Post autor: Jan Kraszewski »

Suma uogólniona to "\bigcup": \(\displaystyle{ \bigcup}\).

A rozwiązanie jest złe, bo nie masz żadnej pewności, że skoro \(\displaystyle{ x\in A_n}\), to nie należy do któregoś z wcześniejszych \(\displaystyle{ A_i}\), \(\displaystyle{ i<n}\).

Akurat zawieranie \(\displaystyle{ P \subseteq L}\) jest dość oczywiste i niezbyt analogiczne do \(\displaystyle{ L \subseteq P}\)...

JK
mathac
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 22 gru 2008, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy

Rodzina zbiorów - dowód

Post autor: mathac »

Rozumiem, czy w takim razie jeżeli założę że \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla pewnego n. Następnie rozpatrzę przypadek że \(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{} A _{i}}\) wtedy, \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{n \in N} ( A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i})}\), a jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{} A _{i}}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{n \in N} ( A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i})}\), gdyż w takim wypadku \(\displaystyle{ x \in A_{k} \wedge x \notin \bigcup _{k<i}A _{k-1}}\) To będzie poprawnie? Proszę o radę dopiero uczę się dowodzić
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Rodzina zbiorów - dowód

Post autor: Jan Kraszewski »

Myśl poprawna, ale ładniej możesz ją zapisać, gdy powiesz, że jeśli \(\displaystyle{ x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n}\), to niech \(\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N}}\) będzie NAJMNIEJSZĄ liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ x\in A_n}\) (możesz to zrobić, w każdym niepustym podzbiorze liczb naturalnych jest element najmniejszy - zasada minimum). Wtedy Twoje pierwotne rozumowanie przechodzi dla \(\displaystyle{ n_0}\).

JK
ODPOWIEDZ