Witam, otóż chciałbym prosić o podpowiedz w sprawie dowodu.
Udowodnić, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A_{n} | n \in \NN}\), zachodzi równość
\(\displaystyle{ \bigcup _{n \in \NN} A _{n} = \bigcup _{n \in \NN} B _{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ B _{n}=A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i}}\)
Zrobiłem w ten sposób:
Zał., że \(\displaystyle{ x\in \bigcup _{n \in \NN} A _{n}}\), wtedy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n}\). Więc
\(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{} A _{i}}\) gdyz \(\displaystyle{ x \in A _{n} \wedge i<n}\). Wobec tego \(\displaystyle{ x \notin A_{i}}\) . Mamy wobec tego że \(\displaystyle{ L \subseteq P}\). Czy to jest dobrze? Oczywiście potem robię analogicznie w druga stronę chodzi mi o to czy dobrze myślę proszę o podpowiedź!
Rodzina zbiorów - dowód
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Rodzina zbiorów - dowód
Suma uogólniona to "\bigcup": \(\displaystyle{ \bigcup}\).
A rozwiązanie jest złe, bo nie masz żadnej pewności, że skoro \(\displaystyle{ x\in A_n}\), to nie należy do któregoś z wcześniejszych \(\displaystyle{ A_i}\), \(\displaystyle{ i<n}\).
Akurat zawieranie \(\displaystyle{ P \subseteq L}\) jest dość oczywiste i niezbyt analogiczne do \(\displaystyle{ L \subseteq P}\)...
JK
A rozwiązanie jest złe, bo nie masz żadnej pewności, że skoro \(\displaystyle{ x\in A_n}\), to nie należy do któregoś z wcześniejszych \(\displaystyle{ A_i}\), \(\displaystyle{ i<n}\).
Akurat zawieranie \(\displaystyle{ P \subseteq L}\) jest dość oczywiste i niezbyt analogiczne do \(\displaystyle{ L \subseteq P}\)...
JK
Rodzina zbiorów - dowód
Rozumiem, czy w takim razie jeżeli założę że \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\) dla pewnego n. Następnie rozpatrzę przypadek że \(\displaystyle{ x \notin \bigcup _{} A _{i}}\) wtedy, \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{n \in N} ( A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i})}\), a jeśli \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{} A _{i}}\), to także \(\displaystyle{ x \in \bigcup _{n \in N} ( A _{n} - \bigcup _{i<n} A _{i})}\), gdyż w takim wypadku \(\displaystyle{ x \in A_{k} \wedge x \notin \bigcup _{k<i}A _{k-1}}\) To będzie poprawnie? Proszę o radę dopiero uczę się dowodzić
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Rodzina zbiorów - dowód
Myśl poprawna, ale ładniej możesz ją zapisać, gdy powiesz, że jeśli \(\displaystyle{ x\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n}\), to niech \(\displaystyle{ n_0\in\mathbb{N}}\) będzie NAJMNIEJSZĄ liczbą naturalną taką, że \(\displaystyle{ x\in A_n}\) (możesz to zrobić, w każdym niepustym podzbiorze liczb naturalnych jest element najmniejszy - zasada minimum). Wtedy Twoje pierwotne rozumowanie przechodzi dla \(\displaystyle{ n_0}\).
JK
JK