Prawdziwość danych implikacji.

[Dargi]

Czy implikacja jest prawdziwa.

\(\displaystyle{ A=B \Rightarrow A \cap C = B \cap C}\)

Zależy mi na tym żeby się dowiedzieć jak takie zadania rozwiązywać

[Jan Kraszewski]

Czy implikacja jest prawdziwa.

\(\displaystyle{ A=B \Rightarrow A \cap C = B \cap C}\)

Ta implikacja jest trywialnie prawdziwa i w zasadzie ciężko tu mówić o dowodzie. Jeśli już koniecznie, to
\(\displaystyle{ x\in A\cap C \Leftrightarrow x\in A\land x\in C \Leftrightarrow \mbox{(założenie)} \Leftrightarrow x\in B\land x\in C \Leftrightarrow x\in B\cap C}\),
czyli \(\displaystyle{ A \cap C = B \cap C}\). Ale jak dla mnie to zupełnie sztuczne.

JK

[Dargi]

Czyli takie przykłady jak:

\(\displaystyle{ A=B \Rightarrow A \cup C = B \cup C}\)
\(\displaystyle{ A=B \Rightarrow A \backslash C = B \backslash C}\)

\(\displaystyle{ A=B \Rightarrow A^c = B^c}\)

są prawdziwe?

[Jan Kraszewski]

Owszem, są trywialnie prawdziwe. Założenie \(\displaystyle{ A=B}\) mówi, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to TEN SAM zbiór (czyli jest to zadanie w stylu \(\displaystyle{ x=y \Rightarrow x+z=y+z...}\)).

JK

[Dargi]

Super dzięki wielkie.
Zrobiłem kilka przykładów i mam kolejny problem.

Czy poniższa implikacja jest prawdziwa:

\(\displaystyle{ [(A \cap B) \backslash C = \emptyset ] \Rightarrow [(A \cup B) \backslash (A \cup C) = B \backslash C]}\)

[Jan Kraszewski]

Odejmowanie zbiorów to "setminus".

Czy poniższa implikacja jest prawdziwa:

\(\displaystyle{ [(A \cap B) \backslash C = \emptyset ] \Rightarrow [(A \cup B) \backslash (A \cup C) = B \backslash C]}\)

Rysuj diagramy Venna. Na pierwszym narysuj \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus (A \cup C)}\), na drugim \(\displaystyle{ B\setminus C}\). Zauważ, że różnią się one tylko jednym "kawałkiem", który odpowiada zbiorowi \(\displaystyle{ (A \cap B) \setminus C}\). Ale ten zbiór z założenia jest pusty, czyli oba zbiory nie różnią się, czyli implikacja jest prawdziwa.

Teraz czas na dowód formalny. Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus (A \cup C)=B\setminus C}\). Pokażemy dwa zawierania:
\(\displaystyle{ ( \subseteq )}\): ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in(A \cup B) \setminus (A \cup C)}\). Wtedy

\(\displaystyle{ x\in A \cup B\land x\notin A \cup C \Leftrightarrow (x\in A \lor x\in B)\land(x\notin A\land x\notin C) \Leftrightarrow (*)}\)

Z rozdzielności koniunkcji względem alternatywy mamy

\(\displaystyle{ (*) \Leftrightarrow (x\in A\land x\notin A\land x\notin C)\lor(x\in B\land x\notin A\land x\notin C) \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow x\in B\land x\notin A\land x\notin C \Rightarrow x\in B\land x\notin C \Leftrightarrow x\in B\setminus C,}\)

co kończy dowód.

\(\displaystyle{ ( \supseteq )}\): ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x\in B\setminus C}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in B\land x\notin C}\). Mamy (potencjalnie) dwie możliwości:
1. Gdyby \(\displaystyle{ x\in A}\), to \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\). Skoro \(\displaystyle{ x\notin C}\), to \(\displaystyle{ x\in (A \cap B) \setminus C}\). Ale z założenia \(\displaystyle{ (A \cap B) \setminus C=\emptyset}\), sprzeczność. Zatem ten przypadek zajść nie może.
2. Wobec tego \(\displaystyle{ x\notin A}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in A\cup B}\) (bo \(\displaystyle{ x\in B}\)) oraz \(\displaystyle{ x\notin A\cup C}\) (bo \(\displaystyle{ x\notin A}\) i \(\displaystyle{ x\notin C}\)). Zatem \(\displaystyle{ x\in (A \cup B) \setminus (A \cup C)}\), co kończy dowód.

JK