Dowolne zbiory A, B, C zależność.

[Dargi]

Sprawdź czy dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi:

\(\displaystyle{ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)}\)

[Jan Kraszewski]

Iloczyn kartezjański to \(\displaystyle{ \times}\) :

Kod: Zaznacz cały

	imes

Zachodzi. Zaczynasz tak:
\(\displaystyle{ \langle x,y\rangle\in A\times(B\cup C) \Leftrightarrow x\in A\land y\in B\cup C\Leftrightarrow \dots}\)

JK

[Dargi]

Chyba załapałem.

Jak mam udowodnić kolejne

\(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\)

to mam zacząć tak? :

\(\displaystyle{ <x,y> \in A \cap (A \times C) \Leftrightarrow x\in A \land (x\in B \land y \in C)}\) ?

[Jan Kraszewski]

Chyba załapałem.

Jak mam udowodnić kolejne

\(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\)

to mam zacząć tak? :

\(\displaystyle{ <x,y> \in A \cap (A \times C) \Leftrightarrow x\in A \land (x\in B \land y \in C)}\) ?

Nie.

Masz się chwilę zastanowić, by zrozumieć, dlaczego zależność ta w ogólności nie musi zachodzić, a następnie podać kontrprzykład (czyli konkretne zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\), dla których ta równość nie zachodzi).

JK

[Dargi]

Problem w tym, że nie rozumiem jak z tymi iloczynami kartezjańskimi sobie radzić. Jakby były same iloczyny kartezjańskie to jeszcze jeszcze by jakoś poszło ale jak mam do tego jeszcze funktory logiczne to się gubie.

[Jan Kraszewski]

Wizualizuj... Np. iloczyn kartezjański dwóch zbiorów można sobie narysować na płaszczyźnie (analogicznie jak dla podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych, tyle, że bez osi współrzędnych...). Pamiętaj, tu nie ma przepisów - to trzeba zobaczyć/zrozumieć.

W przykładzie \(\displaystyle{ A \cap (B \times C) = (A \cap B) \times (A \cap C)}\) Twój niepokój powinien wzbudzić fakt, że nie bardzo jest to jak narysować. To oczywiście o niczym nie przesądza, ale powinno dać do myślenia.

A możliwy kontrprzykład to np. \(\displaystyle{ A=B=C=\{\emptyset\}}\)

JK

[Dargi]

Właśnie sobie rysowałem i nie mogłem tego narysować tej lewej strony. A z tego co piszesz to \(\displaystyle{ {\emptyset} \neq {\emptyset} \times {\emptyset}}\) ?

[Jan Kraszewski]

A z tego co piszesz to \(\displaystyle{ \{\emptyset\} \neq \{\emptyset\} \times \{\emptyset\}}\) ?

Po pierwsze, nawiasy klamrowe to "{" i "}" - inaczej nie wiadomo, o co chodzi...
Po drugie, twierdzę, że

\(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap (\{\emptyset\} \times \{\emptyset\})\neq(\{\emptyset\}\cap \{\emptyset\})\times(\{\emptyset\}\cap \{\emptyset\})}\),

gdyż
1. \(\displaystyle{ \{\emptyset\} \times \{\emptyset\}=\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}}\)
2. \(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}=\emptyset}\)
3. \(\displaystyle{ \{\emptyset\}\cap \{\emptyset\}= \{\emptyset\}}\)
4. \(\displaystyle{ \emptyset\neq\{\langle\emptyset,\emptyset\rangle\}}\)

JK