Dowód inkluzji- działania uogólnione na zbiorach

[xxxNFxxx]

Mam kosmiczne zadanie Pojęcia nie mam jak go zrobić. Na 100% będzie na kolosie zaliczeniowym proszę o pilną pomoc <prosi> Jeżeli to możliwe to tak w miarę dla kogoś o niemal zerowym pojęciu
Z góry dziękuję za pomoc

Udowodnić, że dla dowolnych \(\displaystyle{ A_i_k, I, K}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} \bigcap_{k \in K} A_i_k \subseteq \bigcap_{k \in K} \bigcup_{i \in I} A_i_k}\)
oraz, że inkluzji nie można zastąpić równością.

[act]

Skorzystaj z rachunku kwantyfikatorów.

[rsasquatch]

\(\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} \bigcap_{k \in K} A_i_k \subseteq \bigcap_{k \in K} \bigcup_{i \in I} A_i_k \Leftrightarrow \exists_{i_o \in I} \forall_{k \in K}x \in A_{ik} \Rightarrow \forall_{k \in K}\exists_{i \in I}x \in A_{ik}}\)
Ta implikacja nie jest prawdziwa jeśli z 1 wynika 0
Także mamy, że \(\displaystyle{ \forall_{k \in K}\exists_{i \in I}x \in A_{ik}}\) jest fałszywe wobec tego zachodzi \(\displaystyle{ \exists_{k \in K}\forall_{i \in I}x \notin A_{ik}}\) Jeżeli zachodzi to dla każdego i to wybierzmy sobie \(\displaystyle{ i_o}\) Ale mamy, z pierwszej części implikacji która ma być prawdziwa, że dla \(\displaystyle{ i_o}\) i dowolnego k \(\displaystyle{ x \in A_{ik}}\) Co prowadzi do sprzeczności i kończy dowód ponieważ implikacja jest prawdziwa

[xxxNFxxx]

Dzięki wielkie pozdrawiam