Problem z ciałem generowanym

[Leop]

Mam taki oto problem:
Weźmy dowolny zbiór n- elementowy S. Dowolna, niezależna n-elementowa rodzina podzbiorów S (nazwijmy ją B)powinna więc mieć \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) składowych. Jeżeli z tego co rozumiem ciało generowane takiej rodziny zbiorów jest rodziną wszystkich sum składowych rodziny B to wychodzi na to, że składa się z \(\displaystyle{ 2^{2 ^{n} }}\) podzbiorów S czyli więcej niż zbiór potęgowy S co jest na pewno bzdurą. Czyli moje pytanie brzmi-gdzie się mylę?

[paladin]

Niezależna rodzina to taka, dla której wszystkie składowe są różne? To podaj przykład zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego i jakiejś niezależnej rodziny \(\displaystyle{ n}\) jego podzbiorów

[Leop]

Dzięki rozumiem już gdzie jest błąd w moim rozumowaniu ale mam jeszcze kilka pytań
Czy istnieje jakaś ogólna zależność (moja \(\displaystyle{ 2 ^{n}}\) musi być błędna ) między ilością elementów dowolnej rodziny podzbiorów S a ilością elementów rodziny składowych tychże podzbiorów czy też jest to zawsze uzależnione od samych podzbiorów?
Z twojego drugiego pytania wnioskuję że nie ma takiego zbioru i takiej rodziny ale czy jest to oczywiste czy też wymaga jakiegoś szerszego dowodu? Nie wiem czy dobrze myślę ale czy pokazanie, że potęga przestrzeni S jest ciałem generowanym dla rodziny podzbiorów S, która nie jest niezależną rodziną podzbiorów A n- elementową byłoby wystarczającym dowodem?
Przepraszam za tyle pytań ale dopiero zaczynam z teorią mnogości że dużo mnie jeszcze ciekawi;)

[paladin]

To, ile będzie składowych, zależy od zbiorów. Nie można tego powiedzieć znając tylko ich liczbę. Ale można, jak zauważyłeś sam, podać na liczbę składowych ograniczenie - są rozłączne, więc nie może ich być więcej niż elementów w zbiorze podkładowym + jedna pusta. W szczególności przy \(\displaystyle{ n}\)-elementowym zbiorze podkładowym nie może być \(\displaystyle{ 2^n}\) składowych, chyba że \(\displaystyle{ n = 1}\).