Zbiory symetryczne względem 0

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1039
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 63 razy

Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: Jakub Gurak » 3 sty 2022, o 21:05

Udowodniłem wczoraj, że podzbiory zbioru liczb rzeczywistych symetryczne względem zera mają pewną niesłychaną własność: jeśli rozważymy porządek naturalny na takim dowolnym ustalonym zbiorze i porządek do niego odwrotny, to te dwa porządki są podobne. Zadziwiające. Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory symetryczne względem zera , to ich różnica jest zbiorem symetrycznym względem zera, i, co za tym idzie, ich różnica symetryczna jest zbiorem symetrycznym względem zera, i dopełnienie ( do \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera. Zaraz podam definicję tego prostego pojęcia, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.


Podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right)\in A.}\)

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.

Bardzo proste obserwacje:

Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0,}\) i ich przekrój jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\).

Łatwo to można udowodnić.


Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są symetryczne względem zera, to ich różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczna względem zera.

Dowód:

Mamy \(\displaystyle{ A \setminus B \subset A\subset \RR}\), a więc \(\displaystyle{ A \setminus B\subset \RR}\), jak trzeba.

Aby wykazać, że jest to zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to weźmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\).
Mamy \(\displaystyle{ x\in A, x\not\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left( -x\right)\in A.}\)

Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem symetryczny względem zera, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ -\left( -x\right) \in B }\), czyli, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (-x)\not\in B.}\)

Mamy \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), zatem \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)


Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)

PROSTY DOWÓD:

Mamy \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to na mocy faktu udowodnionego przed chwilą: zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), w efekcie ich unia (suma) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right) }\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)

I dopełnienie ( do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)

( Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), i wykorzystać udowodniony fakt z różnicą)\(\displaystyle{ .\square}\)


Pozostał nam do udowodnienia jeden fakt.

Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i jeśli rozważymy na tym zbiorze porządek naturalny i porządek doń odwrotny, to te dwa porządki są podobne, tzn. \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}=: \le _A ) \approx \left( A, \ge _A:= \left( \le _A\right) ^{-1} \right) .}\)

Dowód:

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)\in A}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.

Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz, że jest 'na' , wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.

Pokażemy, że jest monotoniczna.

Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), i \(\displaystyle{ x_1 \le _A x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1) \ge f(x_2).}\) Mamy \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2)\in A}\), więc również \(\displaystyle{ f(x_2) \le _A f(x_1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1) \le _A ^{-1} f(x_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną z \(\displaystyle{ (A, \le _A)}\)- ze zbioru liniowo uporządkowanego, w \(\displaystyle{ \left( A, \ge _A= \left( \le _A\right) ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ (A, \le _A ) \approx \left( A, \ge _A\right).\square}\) :D

Również, na dowolnym ustalonym zbiorze symetrycznym względem zera, jest tyle samo funkcji silnie rosnących co funkcji silnie malejących, który to fakt udowodniłem TUTAJ, W OSTATNIM MOIM POŚCIE. :D

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1039
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 63 razy

Re: Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: Jakub Gurak » 24 kwie 2022, o 23:00

Udowodniłem dzisiaj, że jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ B\subset A}\) przedziałem w nim, to zbiór wszystkich wartości przeciwnych, do elementów tego przedziału, również jest przedziałem. Ten fakt może mi się przydać w pewnych rozważaniach w zbiorze liczb całkowitych, bo zbiór liczb całkowitych niewątpliwie jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\). Przedstawię teraz dowód tego faktu.

Niech \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) będzie zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) ( zbiorem liniowo uporządkowanym z naturalnym porządkiem). Oraz niech \(\displaystyle{ B\subset A}\) będzie przedziałem w \(\displaystyle{ A}\). Wykażemy, że również zbiór \(\displaystyle{ -B,}\) zdefiniowany jako:

\(\displaystyle{ -B=\left\{ -b\Bigl| \ b\in B\right\}}\),

jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\).

Przypomnę może jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right),}\) podzbiór \(\displaystyle{ C\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ c_1,c_2\in C,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ c_1<x<c_2,}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x\in C}\),

czyli zbiór jest przedziałem, gdy z każdymi jego dwoma elementami każdy pośredni element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) jest elementem tego przedziału.


DOWÓD NASZEGO FAKTU:

Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), to \(\displaystyle{ b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -b\right)\in A}\), a więc \(\displaystyle{ -B\subset A,}\) jak trzeba.

Aby wykazać, że ten zbiór jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), to niech \(\displaystyle{ b_1,b_2 \in \left( -B\right)}\), i niech \(\displaystyle{ x\in A}\) będzie taką liczbą rzeczywistą, że: \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\). I pokażemy, że: \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ b_1,b_2\in \left( -B\right)}\), więc \(\displaystyle{ b_1=-c_1}\), gdzie \(\displaystyle{ c_1\in B}\); oraz \(\displaystyle{ b_2=-c_2}\), gdzie \(\displaystyle{ c_2\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\), więc \(\displaystyle{ -b_1>-x>-b_2}\), a zatem \(\displaystyle{ c_1=-\left( -c_1\right)>-x>-\left( -c_2\right) =c_2}\), czyli

\(\displaystyle{ B\ni c_2<-x<c_1\in B}\),

i \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x=-\left( -x\right)\in \left( -B\right)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).\square}\) :D

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1039
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 63 razy

Re: Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: Jakub Gurak » 5 sie 2022, o 16:00

Udowodniłem przedwczoraj, że jesli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem nieskończonym, zbiorem symetrycznym wzgledem \(\displaystyle{ 0}\), to ilość bijekcji na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ( i o wartościach w nim ) jest równa \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\) . Pomysł jest uogólnionieniem (niełatwego jak dla mnie) pomysłu Jana Kraszewskiego wykorzystanego przy zliczaniu bijekcji z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \RR}\). Jednak, łatwo jest, zauważyć, że jeśli liczbę rzeczywistą można zamienić z liczbą do niej przeciwną, to w zbiorze symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), wtedy element tego zbioru również można zamienić z liczbą do niego przeciwną , który to element przeciwny również będzie w tym zbiorze symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\). Reszta jest analogiczna do rozwiązania tego zadania z tym zliczaniem bijekcji z \(\displaystyle{ \RR}\) do \(\displaystyle{ \RR}\) ( ale dla mnie to też nie jest łatwe ). Przedstawię teraz dowód tego faktu:


DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech :

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)

Wykażemy, że: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| =2 ^{\left| A\right| } .}\)

Rozważmy dwa podzbiory zbioru \(\displaystyle{ A}\), tzn.:

\(\displaystyle{ A_-=\left\{ x\in A: \ x \le 0 \right\} }\), oraz

\(\displaystyle{ A_+=\left\{ x\in A: \ x \ge 0 \right\}.
}\)


Łatwo zauważyć, że te dwa zbiory są równoliczne, wystarczy rozważyć funkcję \(\displaystyle{ f}\) działającą w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ x \in A_- \stackrel{f}{ \rightarrow } -x.}\)

Łatwo jest pokazać, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), że jest to dobrze określona bijekcja ze zbioru \(\displaystyle{ A_-}\) w zbiór \(\displaystyle{ A_+}\). A zatem \(\displaystyle{ A_-\sim A_+.}\)

Zauważmy, że: \(\displaystyle{ A= A_- \cup A_+.}\)

Zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony, gdyż gdyby był skończony, to również zbiór \(\displaystyle{ A_-}\) bylby skończony, i wtedy zbiór \(\displaystyle{ A,}\) jako suma dwóch zbiorów skończonych, byłby zbiorem skończonym, a zbiór \(\displaystyle{ A}\) z założenia jest nieskończony- sprzeczność. A zatem zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) musi być nieskończony.

I nie może być mocy silnie mniejszej od mocy zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdyż gdyby tak przypadkiem było, to zbiór \(\displaystyle{ A_-}\), jako zbiór równoliczny ze zbiorem nieskończonym \(\displaystyle{ A_+}\), również byłby nieskończony, i ponieważ \(\displaystyle{ A=A_- \cup A_+= A_- \cup \left( A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \right),}\) gdzie obydwa składniki tej sumy są zbiorami rozłącznymi, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to drugi składnik tej sumy jest z nim równoliczny (w zbiorze nieskończonym wyrzucenie jednego elementu ze zbioru nie zmienia jego mocy), a zatem suma takich dwóch rozłącznych kopii zbioru \(\displaystyle{ A_+}\) (zbioru nieskończonego ), więc ta suma jest równoliczna z \(\displaystyle{ A_+}\), czyli \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| A_+\right|<\left| A\right|}\) , a więc \(\displaystyle{ A\not\sim A }\)-sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not < \left| A\right| }\), ale \(\displaystyle{ A_+\subset A}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| A_+\right| \le \left| A\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| A_+\right|\not<\left| A\right|}\) , a zatem \(\displaystyle{ A_+\sim A}\) (i \(\displaystyle{ A_-\sim A}\)) .

Niech \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} .}\)

Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha :2 ^{X}= \left\{ 0,1\right\} ^X \rightarrow \mathbb{B}}\), w poniższy, następujący sposób:

Jeśli \(\displaystyle{ b\in 2^X}\), tzn. \(\displaystyle{ b:A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1 \right\}}\), to definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), tak, że: jeśli \(\displaystyle{ x\in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) i

i jesli \(\displaystyle{ b(x)= 0}\), to \(\displaystyle{ f(x)=x\in A, }\) i \(\displaystyle{ f(-x)=-x\in A}\),

a jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to \(\displaystyle{ f(x)=-x\in A,}\) i \(\displaystyle{ f(-x)=x\in A;.}\)

A jeśli \(\displaystyle{ 0\in A}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0.}\)

Mamy \(\displaystyle{ A_- \cup A_+=A.}\)

I jesli \(\displaystyle{ y\in A_-}\) i \(\displaystyle{ y \neq 0}\), to \(\displaystyle{ y\in A}\) i \(\displaystyle{ y<0}\), a zatem ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to \(\displaystyle{ \left( -y\right) \in A}\) i \(\displaystyle{ \left( -y\right) >0}\), a zatem \(\displaystyle{ x:=\left( -y\right) \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\), i wtedy \(\displaystyle{ \left( -x\right) = -\left( -y\right) =y}\), a zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na liczbie \(\displaystyle{ y,}\)

a zatem, stąd otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A_- \setminus \left\{ 0\right\} }\), i, z definicji tej funkcji, otrzymujemy, że jest ona określona na całym zbiorze \(\displaystyle{ A}\), i \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A.}\)

Łatwo, ale dość żmudnie, możemy pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa. Wykażemy teraz, że ta funkcja jest funkcją 'na'.

Niech \(\displaystyle{ y\in A}\).

Jeśli \(\displaystyle{ y=0}\), to \(\displaystyle{ f(0)=0=y}\), a więc element \(\displaystyle{ y}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f. }\)

Jeśli \(\displaystyle{ y \neq 0}\) , to rozważmy wartość bezwzględną takiej liczby, tzn.

niech \(\displaystyle{ x:=\left| y \right| \in A_+ \setminus \left\{ 0\right\}}\) ,

i jesli \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to:

\(\displaystyle{ f(x)=x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0}\), i:

\(\displaystyle{ f(-x)= -x= -\left| y\right| = y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\).

A jeśli \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to:\(\displaystyle{ }\)

\(\displaystyle{ f(x)=-x=-\left| y\right| = -\left( -y\right) =y}\), dla \(\displaystyle{ y<0}\),

i \(\displaystyle{ f\left( -x\right) =x=\left| y\right| =y}\), dla \(\displaystyle{ y \ge 0. }\)

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją 'na', I funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.

A zatem \(\displaystyle{ f\in\mathbb{B}}\), i otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) działająca w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ b\in 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^X \stackrel{ \alpha }{ \rightarrow } f_b\in \mathbb{B}}\),

jest dobrze określona.


Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.

W tym celu weźmy dwie różne funkcje \(\displaystyle{ a,b \in 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^{X}}\), i pokażmy, że przypisane im przez funkcję \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcję: \(\displaystyle{ f_a}\) i \(\displaystyle{ f_b}\) są różne.

Ponieważ \(\displaystyle{ a,b:X= A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\), więc ponieważ te funkcję \(\displaystyle{ a,b}\) mają tą samą dziedzinę i przeciwdziedzinę i ponieważ te funkcje są różne, więc dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\), mamy \(\displaystyle{ a(x) \neq b(x)}\). Ponieważ są to funkcję o wartościach w zbiorze \(\displaystyle{ \left\{ 0,1\right\} }\), więc jedna z tych funkcji musi przyjąć wartość \(\displaystyle{ 0}\), a druga musi wynieść \(\displaystyle{ 1.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=0}\); \(\displaystyle{ b(x)=1}\), to zgodnie z definicją funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że:\(\displaystyle{ f _{a}(x)=x,}\) i z definicji funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy, że: \(\displaystyle{ f_b(x)=-x.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ x\in X}\), więc \(\displaystyle{ x \neq 0}\), a zatem:

\(\displaystyle{ f_a(x)=x \neq -x = f_b(x)}\), a zatem:

\(\displaystyle{ f_a \neq f_b}\).

Jeśli \(\displaystyle{ a(x)=1}\); \(\displaystyle{ b(x)=0}\), to w sposób podobny uzasadniamy, że \(\displaystyle{ f_a \neq f_b.}\)

A zatem funkcja:

\(\displaystyle{ \alpha : 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^{X} \rightarrow \mathbb{B},}\)

jest różnowartościowa.

A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B} \right| \ge \left| 2 ^{X}\right| . }\)

Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, a zatem, na mocy faktu który udowodniłem: TUTAJ, W DRUGIM POŚCIE, więc wszystkich funckji z \(\displaystyle{ A}\) do \(\displaystyle{ A}\) jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), a zatem: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le \left| 2 ^{A} \right|}\) .

Mamy, ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A_+}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ X=A_+ \setminus \left\{ 0\right\} \sim A_+}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest również nieskończony, i :

\(\displaystyle{ 2^X= \left\{ 0,1\right\} ^X\sim P(X)\sim P(A_+)\stackrel{A_+\sim A} {\sim} P(A).}\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \left| 2^X \right|= \left| P(A) \right|}\) ,

a zatem:

\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| 2^X\right| = \left| P(A)\right| = \left| 2^A\right|.}\)

Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2^\left| A\right|}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest nieskończony\(\displaystyle{ .\square}\) :D 8-)


Wynika stąd dość łatwo, że na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorze nieskończonym funkcji różnowartościowych jest \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\), tzn.

Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), zbiorem nieskończonym, to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ f:A \rightarrow A \Bigl| \ \ f \hbox{ jest różnowartościowa }\right\},}\)

ma moc równą \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| } . }\)

DOŚĆ OCZYWISTY DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ f:A \rightarrow A\Bigl| \ \ f \hbox{ jest bijekcją}\right\} .}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\)- każda bijekcja jest funkcją różnowartościową, a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \ge \left| \mathbb{A}\right| = 2 ^{ \left| A\right| } }\) (na mocy dowodu powyżej). Ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset A^A}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieskończony, to ten zbiór funkcji jest mocy \(\displaystyle{ 2^A}\). A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| \le 2^A}\) . Na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = 2 ^{\left| A\right| } .\square}\) :lol:

3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 100
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 34
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: 3a174ad9764fefcb » 5 sie 2022, o 20:40

Jakub Gurak pisze:
5 sie 2022, o 16:00
Udowodniłem przedwczoraj, że jesli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem nieskończonym, zbiorem symetrycznym wzgledem \(\displaystyle{ 0}\), to ilość bijekcji na zbiorze \(\displaystyle{ A}\) ( i o wartościach w nim ) jest równa \(\displaystyle{ 2 ^{\left| A\right| }}\) .
Myślę, że możesz się pozbyć założenia o symetrii, jak też założenia, że \(A\subset\RR\). Zbiór nieskończony \(A\) jest równoliczny z \(A\times\{0,1\}\), a na tym zbiorze możesz przeprowadzić dowód podobnie jak na zbiorze symetrycznym. Nawet jest trochę prościej, bo każdy element ma od razu przypisaną parę, a w zbiorze symetrycznym musiałeś specjalnie traktować środek symetrii, który nie miał pary.

ODPOWIEDZ