Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są zbiorami, a \(\displaystyle{ R}\) jest dowolną relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), i mamy zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\), to relacja \(\displaystyle{ A|R}\) określona w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ (x,y)\in \left( A|R\right) \equiv x\in A \wedge \left( x,y\right) \in R}\),
zwana jest ograniczeniem relacji \(\displaystyle{ R}\) w dziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ A.}\)
Równoważnie, możemy tą relację zdefiniować jako:
\(\displaystyle{ \left( A|R\right) = R \cap \left( A \times Y\right)}\),
Jest to zbiór tych par z relacji \(\displaystyle{ R}\), których pierwsze współrzędne są elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\), a bardziej wymownie jest to przekrój relacji \(\displaystyle{ R}\) z pionowym pasem \(\displaystyle{ A \times Y.}\)
Podobnie, jeśli mamy relację \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), i gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to relacja \(\displaystyle{ R|B}\), relacja złożona z tych par z relacji \(\displaystyle{ R}\), których drugie współrzędne należą do zbioru \(\displaystyle{ B}\), tzn. relacja dana jako:
\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \left( R|B\right) \equiv \left( x,y\right)\in R \wedge y\in B}\),
zwana jest ograniczeniem relacji \(\displaystyle{ R}\) w przeciwdziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ B}\).
Równoważnie możemy tą relację zdefiniować jako:
\(\displaystyle{ \left( R|B\right) = R \cap \left( X \times B\right)}\),
jest to przekrój tej danej relacji \(\displaystyle{ R}\) z poziomym pasem \(\displaystyle{ X \times B.}\)
Udowodniłem wczoraj, że jeśli mamy relację \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), oraz gdy mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A\subset X}\), i gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to przekrój ograniczenia relacji \(\displaystyle{ R}\) w dziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ A}\) i ograniczenia tej relacji w przeciwdziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest równy przekroju tej relacji z prostokątem \(\displaystyle{ A \times B.}\) Udowodniłem tez, że (dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\)) jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) |R= \left( A|R\right) \cap \left( B|R\right)}\),
jak i udowodniłem podobne prawo dla zawężeń relacji \(\displaystyle{ R}\) w przeciwdziedzinie. Udowodniłem też, że jeśli mamy (dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\)), gdy mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ A_1, A_2\subset X}\), to mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2\right) |R= \left( A_1|R\right) \cup \left( A_2|R\right).}\)
Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), i niech \(\displaystyle{ A\subset X, B\subset Y}\). Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ (A|R) \cap \left( R|B\right) = R \cap \left( A \times B\right) }\),
czyli, że przekrój zawężenia relacji \(\displaystyle{ R}\) w dziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ A}\) i zawężenia tej relacji w przeciwdziedzinie do zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest równy przekrojowi tej relacji z prostokątem \(\displaystyle{ A \times B}\).
\(\displaystyle{ \left( A \cap B\right) |R=\left( A|R\right) \cap \left( B|R\right). }\)
Nim udowodnimy ten bardzo ciekawy fakt, przypomnijmy, że jeśli mamy cztery zbiory \(\displaystyle{ X_1, X_2, Y_1, Y_2;}\) oraz dwa iloczyny kartezjańskie \(\displaystyle{ X_1 \times Y_1}\) i \(\displaystyle{ X_2 \times Y_2,}\) to przekrój tych dwóch iloczynów kartezjańskich jest iloczynem kartezjańskim, i to postaci: przekrój pierwszych składowych iloczynu kartezjańskiego razy przekrój drugich składowych- jest to dość elementarny fakt.
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO CIEKAWEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( A|R\right) \cap \left( B|R\right) =\left[ R \cap \left( A \times Y\right) \right] \cap \left[ R \cap \left( B \times Y\right) \right] =R \cap R \cap \left[ \left( A \times Y\right) \cap \left( B \times Y\right) \right] = R \cap \left[ \left( A \cap B\right) \times \left( Y \cap Y\right) \right]=R \cap \left[ \left( A \cap B\right) \times Y\right] =\\ = \left( A \cap B\right)|R .\square}\)
Wykażemy podobny fakt dla ograniczeń relacji w przeciwdziedzinie, tzn. wykażemy, że (dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\)), dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ B_1, B_2\subset Y}\), mamy:
\(\displaystyle{ R|\left( B_1 \cap B_2\right) = \left( R|B_1 \right) \cap \left( R|B_2\right) .}\)
\(\displaystyle{ \left( A_1 \cup A_2\right) |R= \left( A_1|R\right) \cup \left( A_2|R\right) .}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( A_1|R\right) \cup \left( A_2|R\right)= \left[ R \cap \left( A_1 \times Y\right) \right] \cup \left[ R \cap \left( A_2 \times Y\right) \right] =R \cap \left[ \left( A_1 \times Y\right) \cup \left( A_2 \times Y\right) \right] =R \cap \left[ \left( A_1 \cup A_2\right) \times Y \right] = \left( A_1 \cup A_2\right) |R.\square}\)
Na koniec wykażemy, że (dla relacji \(\displaystyle{ R}\) z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\)), dla zbioru \(\displaystyle{ A\subset X}\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A|R\right) ^{-1}= R ^{-1}|A.}\)
Oto ilustracja, dla relacji z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ X}\):
Obrazek wygasł
Odbijanie względem przekątnej nie jest moją mocną stroną, ale to zrobiłem:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy:
\(\displaystyle{ \left( A|R\right) ^{-1} =\left[ R \cap \left( A \times Y\right) \right] ^{-1}= R ^{-1} \cap \left( A \times Y\right) ^{-1}\stackrel {\left( B \times C\right) ^{-1} = C \times B }{=} R ^{-1} \cap \left( Y \times A\right) }\),
i ponieważ relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), więc to jest równe:
\(\displaystyle{ =R ^{-1}|A. \square}\)