Rozpoczynam wątek, w którym będę badał ile jest przedziałów w danym zbiorze liniowo uporządk\(\displaystyle{ }\)owanym, w zależności od jego rodzaju. Ponieważ badałem jaką mogą mieć postać przedziały w różnego rodzaju zbiorach liniowo uporządkowanych, więc będzie można pozliczać ile jest tych przedziałów. Zaczniemy od skończonych zbiorów liniowo uporządkowanych. Wykazałem niedawno (choć mogło upłynąć od tego czasu nawet kilka miesięcy, z dwa, trzy miesiące, nie wiem), że w skończonym zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ n}\)-elementowym istnieje dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2} +1\right)}\) przedziałów. Przedstawię teraz indukcyjny dowód tego faktu.
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_X=\left\{ A\subset X\Bigl| \ A \hbox{ jest przedziałem }\right\}}\),
\(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, tzn. z każdymi dwoma elementami \(\displaystyle{ a,b\in A}\), każdy pośredni element \(\displaystyle{ c\in X}\), tzn. taki element \(\displaystyle{ c\in X}\), że \(\displaystyle{ a<c<b}\), jest elementem tego przedziału \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ c\in A.}\)
Wykażemy, że moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) wynosi dokładnie: \(\displaystyle{ \left( \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2} +1\right)}\).
No bo mamy jeden przedział pusty, potem przedziałów o lewym końcu w elemencie najmniejszym \(\displaystyle{ x_1}\) mamy dokładnie \(\displaystyle{ n}\) (przesuwamy prawe końce), przedziałów o lewym końcu w elemencie \(\displaystyle{ x_2}\) mamy \(\displaystyle{ (n-1)}\), ..., przedziałów o końcu w ostatnim elemencie \(\displaystyle{ x_n}\) mamy dokładnie jeden. Łącznie mamy \(\displaystyle{ \left( 1+ (n+\left( n-1\right)+\left( n-2\right)+\ldots+1 ) = 1+\left( 1+2+\ldots+n\right)= \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2}+1\right) }\) przedziałów, co nie zastępuje dowodu. Przedstawię teraz dowód indukcyjny tego faktu.
Podajmy najpierw pewien prosty lemat.
LEMAT. Jeśli \(\displaystyle{ \left( X , \le\right) }\) jest skończonym zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset X}\) niepustym przedziałem, to przedział \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci przedziału domkniętego, tzn.:
\(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]=\left\{ x\in X: \ a \le x \le b\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a \le b}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Ponieważ \(\displaystyle{ A\subset X}\), a zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, więc również zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, i niepusty- z założenia. Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\) zbioru liniowo uporządkowanego, zbiorem skończonym i niepustym, a zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in A}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ b\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ A\ni a \le b}\), i \(\displaystyle{ a,b\in X.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right].}\)
Niech \(\displaystyle{ x\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in X}\). A element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ x\in A}\), a więc \(\displaystyle{ a \le x}\), i element \(\displaystyle{ b}\) jest największy w \(\displaystyle{ A}\), a więc \(\displaystyle{ x \le b}\), a zatem \(\displaystyle{ a \le x \le b}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in \left[ a,b\right]}\) , i \(\displaystyle{ A\subset \left[ a,b\right].}\)
Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ x \in \left[ a,b\right]}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in X}\) i \(\displaystyle{ a \le x \le b}\). A zatem \(\displaystyle{ A\ni a \le x \le b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A}\), a zatem \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]\subset A}\).
I \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a \le b.\square}\)
Przejdźmy do naszego zadania.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dowód jest indukcyjny.
Jeśli \(\displaystyle{ n=0}\), to \(\displaystyle{ X=\emptyset}\), a więc mamy dokładnie jeden przedział- przedział pusty, czyli mamy dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{\left(0+1 \right) \cdot 0 }{2}+1\right) }\) przedziałów.
Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\), to \(\displaystyle{ X=\left\{ x\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest pewnym elementem. Wtedy mamy dwa przedziały: \(\displaystyle{ \emptyset}\) i \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\), czyli mamy dokładnie \(\displaystyle{ \left( \frac{\left( 1+1\right) \cdot 1 }{2}+1\right) }\) przedziałów.
Krok indukcyjny: Weźmy \(\displaystyle{ n\in\NN}\), i przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ n}\)-elementowych. Wykażemy, że zachodzi dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\)-elementowych.
W tym celu weźmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\), \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\) -elementowy. Wtedy \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\} }\) zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest niepusty, i jest skończonym zbiorem liniowo uporządkowanym, a zatem zbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ a\in X}\)- jest to prosty fakt- dowód indukcyjny znajduje się w książce K.Kuratowski, A. Mostowski. Teoria Mnogości. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\)- jest to zbiór \(\displaystyle{ n}\)-elementowy, możemy zatem zastosować założenie indukcyjne, i otrzymać, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{X \setminus \left\{ a\right\} }}\) ma \(\displaystyle{ \left( \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2}+1\right)}\) zbiorów, czyli w zbiorze \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\) dokładnie tyle jest przedziałów.
Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}_X}\). Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym, to na mocy naszego lematu zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w postaci przedziału domkniętego, tzn. \(\displaystyle{ A=\left[ x,y\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) i \(\displaystyle{ x \le y.}\)
Wykażemy nawet, że te dwie rodziny zbiorów są równe.
DOWÓD TEGO FAKTU::
Jest to bardziej żmudne niż trudne.
Mamy, na mocy naszego lematu:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_X=\left\{ \emptyset\right\} \cup \left\{ \left[ x,y\right]\Bigl| \ \ x,y\in X, x \le y \right\}=}\) i ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\), więc dla dowolnego \(\displaystyle{ y\in X}\), mamy \(\displaystyle{ y \ge a}\), więc ten składnik, tą rodzinę przedziałów możemy rozbić na dwie, tzn. ten cały zbiór jest równy:
\(\displaystyle{ =\left\{ \emptyset\right\} \cup \left\{ \left[ a,y\right]\Bigl| \ \ y\in X \right\} \cup \left\{ \left[ x,y\right]\Bigl| \ x,y\in X, x \neq a, x \le y \right\} .}\)
Zauważmy, że zbiór pusty jest przedziałem w \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\) , a niepuste przedziały w \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\) są, na mocy naszego lematu, są w postaci przedziału domkniętego, wobec czego.
zbiór \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\) jest zbiorem \(\displaystyle{ n}\)-elementowym, a zatem, z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{X \setminus \left\{ a\right\} }}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ \left[ \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2} +1 \right]}\) zbiorów. I mamy:
\(\displaystyle{ \left\{ \left[ a,y\right]\Bigl| \ y\in X \right\} \sim X}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f}\) działąjącą w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ y_1 \neq y_2}\), ponieważ \(\displaystyle{ y_1, y_2\in X}\), a zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest liniowo uporządkowany, więc \(\displaystyle{ y_1<y_2}\) lub \(\displaystyle{ y_2<y_1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ y_1<y_2}\), to ponieważ \(\displaystyle{ y_1 \neq y_2}\), więc \(\displaystyle{ y_2\not \le y_1}\), a więc \(\displaystyle{ y_2\not\in \left[ a, y_1\right] }\), a \(\displaystyle{ y_2\in \left[ a, y_2\right]}\)- gdyż \(\displaystyle{ y_2\in X,}\) i ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ a \le y_2 \le y_2}\), a więc \(\displaystyle{ y_2 \in \left[ a, y_2\right]}\), a \(\displaystyle{ y_2\not\in \left[ a, y_1\right]}\), wobec czego \(\displaystyle{ \left[ a, y_1\right] \neq \left[ a, y_2\right]}\), co należało pokazać.
Jeśli \(\displaystyle{ y_2<y_1}\), to \(\displaystyle{ y_1\not\in \left[ a, y_2\right]}\) , bo \(\displaystyle{ y_1\not \le y_2}\), a \(\displaystyle{ y_1 \in \left[ a, y_1\right]}\), gdyż ponieważ element \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ X}\), a więc \(\displaystyle{ a \le y_1 \le y_1}\), a zatem \(\displaystyle{ y_1 \in \left[ a, y_1\right]}\), a \(\displaystyle{ y_1\not\in \left[ a, y_2\right]}\) wobec czego: \(\displaystyle{ \left[ a, y_1\right] \neq \left[ a, y_2\right].}\)
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa.
Oczywiście jest 'na'. A zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
A zatem \(\displaystyle{ \left\{ \left[ a,y\right]\Bigl| \ y\in X \right\} \sim X. \square}\)
, czyli ta rodzina ma \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\)-elementów.
Zauważmy, że rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B} _{X \setminus \left\{ a\right\} }}\) i \(\displaystyle{ \left\{ \left[ a,y\right]\Bigl| \ \ y\in X \right\}}\) są zbiorami rozłącznymi (z definicji tych zbiorów ), a zatem rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) ma dokładnie \(\displaystyle{ \left( \left( n+1\right)+\left[ \frac{\left( n+1\right) \cdot n }{2} +1\right] = \frac{\left( n+1\right) \cdot \left( n+2\right) }{2}+1\right) }\) elementów, co (z przemienności mnożenia liczb naturalnych) dowodzi prawdziwości kroku indukcyjnego.
Ale po co tyle pisać? Wybieramy początek i koniec nietrywialnego przedziału na \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\) sposobów, do tego trzeba jeszcze dorzucić singletony i zbiór pusty, które w trywialny sposób spełniają definicję, i tyle. No offence, trochę sztuka dla sztuki.
Jakub Gurak, a umiesz udowodnić, że każdy zbiór skończony jest równoliczny z dokładnie jedną liczbą naturalną? Wszak jak zliczasz przedziały, to masz rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) skończoną i przypisujesz jej liczbę naturalną, czyli jej moc.
Dla jasności zbiór skończony to dla mnie równoliczny z liczbą naturalną.
Potem potrzebujesz jeszcze takiej własności: Jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłącznymi zbiorami skończonymi, to \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest skończony o mocy \(\displaystyle{ |A|+|B|}\), gdzie \(\displaystyle{ +}\) oznacza klasyczne dodawanie liczb naturalnych (definicja Peana).
Ukryta treść:
Bez pewnika wyboru.
Ukryta treść:
Zadanie może się wydawać trywialne dla tych, którzy znają własność, że każdy zbiór jest równoliczny z dokładnie jedną liczbą kardynalną (modulo szczegóły, żeby nie korzystać z pewnika wyboru). Ukryty problem to udowodnienie, że każda liczba naturalna jest kardynalna.
matmatmm pisze: ↑30 mar 2022, o 13:49Jakub Gurak, a umiesz udowodnić, że każdy zbiór skończony jest równoliczny z dokładnie jedną liczbą naturalną? Wszak jak zliczasz przedziały, to masz rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) skończoną i przypisujesz jej liczbę naturalną, czyli jej moc.
Czyli, innymi słowy, dwie różne liczby naturalne von Neumanna nie są równoliczne (z przechodniości równoliczności). Umiem, udowodniłem to TUTAJ, NA SAMYM KOŃCU. Rzeczywiście, formalnie nie jest to takie całkiem oczywiste.
W ostatnią środę udowodniłem , że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym nieskończonym, bez elementu najmniejszego ani największego, to tutaj istnieje dokładnie tyle przedziałów ile jest elementów zbioru \(\displaystyle{ X}\). Wynika stąd, że w zbiorze liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem jest dokładnie continuum przedziałów ( wreszcie , mamy to); jak i w zbiorze liczb rzeczywistych z porządkiem odwrotnym do zwykłego, tu również istnieje dokładnie continuum przedziałów. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym nieskończonym bez elementu najmniejszego ani największego. Rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{D}}\), daną jako:
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{D} .}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D}\right| =\left| X\right|. }\)
Przypomnijmy najpierw twierdzenie, które udowodniłem TUTAJ , (po sprawdzeniu 28 przypadków), że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym bez elementu najmniejszego i bez elementu największego, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem, to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest w dokładnie jednej z poniższych ośmiu postaci:
1. \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo
2. \(\displaystyle{ A=\overline{O(x)},}\) gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo
3. \(\displaystyle{ A=\left[ x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo
4. \(\displaystyle{ A= \left( x, \rightarrow \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo
5. \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right],}\) gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) ( i \(\displaystyle{ a \le b}\) ) ; albo
6. \(\displaystyle{ A= \left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\); albo
7. \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\); albo
8. \(\displaystyle{ A= \left( a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\).
Będziemy z tego twierdzenia korzystać.
Podajmy jeszcze jeden lemat.
Przypomnijmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) podzbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest resztą, gdy z każdym elementem \(\displaystyle{ A}\) zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera również każdy element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), który jest od niego większy.
Czyli jest to zbiór od 'pewnego momentu' zbioru liniowo uporządkowanego do końca.
Podajmy teraz ten lemat.
Lemat. W dowolnym zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) istnieje tyle samo przedziałów początkowych co reszt, tzn. rodziny zbiorów:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_{-}=\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest przedziałem początkowym }\right\} }\), oraz
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_{+} =\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest resztą} \right\} }\),
są równoliczne.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{B}_- \rightarrow \mathbb{B}_{+}}\), jako:
\(\displaystyle{ f(A)= A'= X \setminus A.}\)
Jesli \(\displaystyle{ A\in \mathbb{B}_-}\), wtedy \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, wtedy ponieważ dopełnienie przedziału początkowego jest resztą (jest to raczej prosty fakt), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest resztą, i \(\displaystyle{ f(A)= A' \in\mathbb{B}_+}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.
Łatwo jest pokazać, że ta funkcja jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B} _+}\), wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest resztą, ponieważ dopełnienie reszty jest przedziałem początkowym (jest to prosty fakt), a więc również zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest przedziałem początkowym, a zatem \(\displaystyle{ A'\in \mathbb{B} _-}\), i wtedy \(\displaystyle{ f(A')= (A')'=A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f.}\) Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją 'na'.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
W tym celu weźmy dowolne dwa różne elementy \(\displaystyle{ x_1,x_2\in X}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, więc \(\displaystyle{ x_1<x_2}\) lub \(\displaystyle{ x_2<x_1}\). Jeśli \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), to \(\displaystyle{ x _2\in \overline {O(x_2) }}\), a \(\displaystyle{ x_2\not\in \overline{O(x_1)}}\), bo \(\displaystyle{ x_2>x_1}\). A zatem \(\displaystyle{ \overline {O(x_2)} \neq \overline {O(x_1) }.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ x_2<x_1}\), to rozumujemy analogicznie.
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
I bardzo łatwo jest sprawdzić, że jest to funkcja 'na'.
W tym celu definiujemy funkcję \(\displaystyle{ \alpha :\mathbb{A} \rightarrow \mathbb{B}}\), w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ x\in X}\), i mamy zbiór \(\displaystyle{ \overline{O(x)}}\), to definiujemy \(\displaystyle{ \alpha \left( \overline{O(x) }\right) = \overline{O(x) } \setminus \left\{ x\right\} = O(x)\in \mathbb{B}.}\)
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją..
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Rozważmy zbiory \(\displaystyle{ \overline{O(x_1) }}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1\in X; }\) oraz \(\displaystyle{ \overline{O(x_2)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_2\in X}\), które są różne. Zbiory te są przedziałami początkowymi, a w zbiorze liniowo uporządkowanym dla dwóch przedziałów początkowych jeden się zawiera w drugim (jest to raczej prosty fakt), a więc \(\displaystyle{ \overline {O(x_1)}\subset \overline {O(x_2)}}\) lub \(\displaystyle{ \overline {O(x_2)}\subset \overline {O(x_1)}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \overline {O(x_1)}\subset \overline {O(x_2)}}\), to \(\displaystyle{ \overline {O(x_1)}\subsetneq \overline {O(x_2)}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x_1\in \overline{ O(x_1)}}\), to \(\displaystyle{ x_1\in \overline{O(x_2)}}\), a zatem \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), i mamy \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\) (bo \(\displaystyle{ \overline{O(x_1) }\neq \overline{O(x_2) } }\) ). A zatem \(\displaystyle{ x_1<x_2}\), a więc \(\displaystyle{ x_1\in O(x_2);}\) a ponieważ \(\displaystyle{ x_1\not\in O(x_1)}\) (bo \(\displaystyle{ x_1\not< x_1}\)), a więc \(\displaystyle{ O(x_1) \neq O(x_2).}\)
Jeśli \(\displaystyle{ \overline {O(x_2)}\subset \overline{O(x_1)}}\), to rozumujemy analogicznie dowodząc, że \(\displaystyle{ O(x_1) \neq O(x_2) }\).
Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), wtedy \(\displaystyle{ A= O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B= O(x) \cup \left\{ x\right\} = \overline {O(x)}}\), ponieważ również \(\displaystyle{ x\in X}\), a więc \(\displaystyle{ B\in \mathbb{A}}\), i wtedy \(\displaystyle{ \alpha (B)= B \setminus \left\{ x\right\}= \overline{O(x)} \setminus \left\{ x\right\} = O(x)=A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) . Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{A}\sim \mathbb{B} }\) .
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A}\sim X}\), a więc \(\displaystyle{ \mathbb{B}\sim X.}\)
na mocy przytoczonego twierdzenia, a dokładniej na mocy konkretniejszego faktu odnośnie tego jak wyglądają przedziały początkowe w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym- są w postaci domkniętego przedziału początkowego albo w postaci zwykłego przedziału początkowego;
i gdzie:
zbiory \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) są rozłączne, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to suma takich dwóch zbiorów równolicznych ze zbiorem \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczna ze zbiorem \(\displaystyle{ X}\), a więc \(\displaystyle{ \mathbb{B}_{1} ^{'}\sim X.}\)
Rozważmy teraz rodzinę reszt:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_2=\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest resztą }\right\} .}\)
Na mocy naszego lematu w \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest tyle samo przedziałów początkowych co reszt, tzn.: \(\displaystyle{ \mathbb{B}_2\sim \mathbb{B} _1.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1 ^{'} \sim X}\), a zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1 ^{'}}\) również jest nieskończony, a więc:
\(\displaystyle{ X\sim \mathbb{B} _{1} ^{'} \cup \left\{ \emptyset, X\right\} = \mathbb{B}_1 \sim \mathbb{B}_2}\), a więc \(\displaystyle{ \mathbb{B_2} \sim X}\).
Rozważmy rodzinę pozostałych przedziałów, tzn. rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}_3}\), daną jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_3=\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest przedziałem nie będącym przedziałem początkowym ani resztą }\right\}.}\)
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbb{B}_3\supset \left\{ \left[ a,a\right]\Bigl| \ a\in X \right\} =\left\{ \left\{ a\right\}\Bigl| \ \ a\in X \right\} \sim X}\).
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}_1\right| \le \left| X \times X\right| .}\)
Jeśli mamy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1}\), tzn. przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\); to wtedy przypisujemy mu parę \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in X \times X}\), otrzymując funkcję \(\displaystyle{ \alpha :\mathbb{A}_1 \rightarrow X \times X.}\)
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
DOWÓD TEGO FAKTU:
jesli \(\displaystyle{ \alpha \left( \left[ a,b\right] \right) = \alpha \left( \left[ a' ,b'\right] \right)}\) , wtedy, z definicji funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) = \left( a',b' \right)}\), skąd \(\displaystyle{ a=a'}\) i \(\displaystyle{ b= b'}\), a stąd \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] =\left[ a', b'\right], }\)
i funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
A zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}_1\right| \le \left| X \times X\right|}\), a ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to na mocy twierdzenia Hessenberga ten kwadrat kartezjański jest równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ X}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}_1\right| \le \left| X\right| .}\)
Wykażemy, że ta rodzina jest równoliczna z rodziną przedziałów domkniętych \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Jeśli mamy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1}\), tzn. przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), wtedy przypisujemy mu przedział \(\displaystyle{ \left[ a,b\right) = \left[ a,b\right] \setminus \left\{ b\right\}}\) , i wtedy \(\displaystyle{ \left[ a,b\right)\in \mathbb{A}_2}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję:
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa:
Jeśli mamy dwa zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1}\), tzn. zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\), gdzie \(\displaystyle{ a<b}\) ; i gdy mamy zbiór postaci \(\displaystyle{ \left[ a', b'\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a'<b'}\)- zbiory różne, wtedy \(\displaystyle{ a \neq a'}\) lub \(\displaystyle{ b \neq b'}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a \neq a'}\), to \(\displaystyle{ a<a'}\) lub \(\displaystyle{ a'<a}\).
Jeśli \(\displaystyle{ a<a'}\), to \(\displaystyle{ a\not\in \left[ a', b' \right) }\), (bo \(\displaystyle{ a\not \ge a'}\)), a \(\displaystyle{ a \in \left[ a,b\right)}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left[ a, b\right) \neq \left[ a', b'\right) .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a'<a}\), to rozumujemy analogicznie jak powyżej.
W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ a=a'}\), i \(\displaystyle{ b \neq b'}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b \neq b'}\), więc \(\displaystyle{ b<b'}\) lub \(\displaystyle{ b'<b}\).
Jeśli \(\displaystyle{ b<b'}\), wtedy \(\displaystyle{ b\in \left[ a', b'\right)}\) ( \(\displaystyle{ a'=a<b}\)) i \(\displaystyle{ b\not\in \left[ a,b\right)}\), bo \(\displaystyle{ b\not<b}\), a zatem \(\displaystyle{ \left[ a', b'\right) \neq \left[ a, b\right).}\)
Jeśli \(\displaystyle{ b' < b}\), to w sposób symetryczny jak powyżej uzasadniamy, że \(\displaystyle{ \left[ a,b\right) \neq \left[ a',b'\right).}\)
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ A\in \mathbb{A}_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ A=\left[ a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B=A \cup \left\{ b \right\}= \left[ a,b\right) \cup \left\{ b\right\} =\left[ a,b\right] \in \mathbb{A}_1}\), i wtedy:
a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\) . Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, ze funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest 'na'.
A zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją, i \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1\sim \mathbb{A}_2.}\)
Rozważmy teraz rodzinę przedziałów otwarto-domkniętych:
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}_3}\) jest równoliczna z rodziną \(\displaystyle{ \mathbb {A}_1}\) (usuwając lewe końce przedziałów domkniętych).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Jeśli mamy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A}_1}\), tzn. przedział domknięty \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] }\); gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), wtedy przypisujemy mu zbiór \(\displaystyle{ \left[ a,b\right] \setminus \left\{ a\right\}= \left( a,b\right] \in \mathbb{A}_3}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję:
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
W tym celu weźmy dwa zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1}\) różne, tzn. zbiory postaci \(\displaystyle{ \left[ a,b\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b;}\) oraz weźmy zbiór postaci \(\displaystyle{ \left[ a',b'\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a',b' \in X}\) i \(\displaystyle{ a'<b'}\)- dwa przedziały domknięte różne. Ponieważ są to różne przedziały domknięte, a więc \(\displaystyle{ a \neq a'}\) lub \(\displaystyle{ b \neq b' . }\)
Jeśli \(\displaystyle{ b \neq b'}\), to \(\displaystyle{ b<b'}\) lub \(\displaystyle{ b' <b.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ b<b' }\), to \(\displaystyle{ b' \in \left( a' ,b'\right] }\) (\(\displaystyle{ b' >a'}\)) , a \(\displaystyle{ b'\not\in \left( a,b\right] }\),bo \(\displaystyle{ b' \not \le b}\). A zatem \(\displaystyle{ \left( a',b'\right] \neq \left( a,b\right] .}\)
A jeśli \(\displaystyle{ b'<b}\), to rozumujemy w sposób symetryczny.
Pozostaje do rozważenia przypadek gdy: \(\displaystyle{ b=b}\)' i \(\displaystyle{ a \neq a'}\). Wtedy \(\displaystyle{ a<a}\)' lub \(\displaystyle{ a'<a. }\)
Jeśli \(\displaystyle{ a<a';}\) to \(\displaystyle{ a' \in \left( a,b\right]}\) , (\(\displaystyle{ a' \le b=b'}\), bo \(\displaystyle{ a'<b'}\)) , a \(\displaystyle{ a' \not\in \left( a', b'\right]}\), bo \(\displaystyle{ a'\not >a'.}\) A zatem \(\displaystyle{ \left( a,b\right] \neq \left( a',b'\right].}\)
A jeśli \(\displaystyle{ a'<a}\), to analogicznie uzasadniamy, że również \(\displaystyle{ \left(a,b \right] \neq \left( a',b'\right] . }\)
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ A\in \mathbb{A}_3.}\) Wtedy \(\displaystyle{ A=\left( a,b\right]}\) , gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B=A \cup \left\{ a\right\} =\left( a,b\right] \cup \left\{ a\right\}=\left[ a,b\right] \in \mathbb{A}_1.}\)
I wtedy \(\displaystyle{ \alpha \left( B\right) = \alpha \left( \left[ a,b\right] \right) = \left[ a,b\right] \setminus \left\{ a\right\}=\left( a,b\right]=A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha}\). Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{A}_1\sim \mathbb{A}_3.\square}\)
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}_2}\) jest równoliczna z rodziną \(\displaystyle{ \mathbb{A}_0}\)( dodając do przedziałów otwartych ich lewe końce).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Jeśli mamy zbiór z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}_0}\), tzn. przedział otwarty \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\), to przypisujemy mu zbiór \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \cup \left\{ a\right\} =\left[ a,b\right) \in \mathbb{A}_2}\), i w ten sposób otrzymujemy funkcję:
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest bijekcją.
Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Jesli \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \neq \left( a',b'\right) }\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\); i gdzie \(\displaystyle{ a',b'\in X}\) i \(\displaystyle{ a'<b'}\) . Wtedy \(\displaystyle{ a \neq a'}\) lub \(\displaystyle{ b \neq b'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a \neq a' }\), to \(\displaystyle{ a<a'}\) lub \(\displaystyle{ a'<a.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a<a'}\) , to \(\displaystyle{ a\in \left[ a,b\right)}\) (mamy \(\displaystyle{ a<b}\)) , a \(\displaystyle{ a\not\in \left[ a',b'\right)}\), bo \(\displaystyle{ a\not \ge a'}\), a zatem \(\displaystyle{ \left[ a,b\right) \neq \left[ a',b'\right).}\)
Jeśli \(\displaystyle{ a'<a}\), to rozumujemy analogicznie.
Pozostaje rozważyć przypadek gdy: \(\displaystyle{ a=a'}\) i \(\displaystyle{ b \neq b'. }\)
Wtedy \(\displaystyle{ b<b'}\) lub \(\displaystyle{ b'<b.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ b<b'}\), to \(\displaystyle{ b\not\in \left[ a,b\right)}\), bo \(\displaystyle{ b\not<b}\), a \(\displaystyle{ b\in \left[ a', b'\right)}\), gdyż \(\displaystyle{ a=a'\le b}\), a zatem \(\displaystyle{ \left[ a,b\right) \neq \left[ a', b'\right) .}\)
A jeśli \(\displaystyle{ b'<b}\), to w sposób symetryczny udowadniamy, że \(\displaystyle{ \left[ a,b\right) \neq \left[ a',b'\right).}\)
A zatem funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest różnowartościowa.
Wykażemy teraz, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb{A}_2}\). Wtedy \(\displaystyle{ A= \left[ a,b\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b\in X}\) i \(\displaystyle{ a<b}\). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B=\left[ a,b\right) \setminus \left\{ a\right\} =\left( a,b\right)\in \mathbb{A}_0.}\) I wtedy:
\(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)= \alpha \left( \left( a,b\right) \right) = \left( a,b\right) \cup \left\{ a\right\}=\left[ a,b\right)=A}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ \alpha .}\) Z dowolności wyboru takiego zbioru otrzymujemy, że funkcja \(\displaystyle{ \alpha}\) jest funkcją 'na'.
A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{A}_0\sim\mathbb{A}_2. \square}\)
A zatem ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A}_2\sim \mathbb{A}_1}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{A}_0\sim\mathbb{A}_1.}\)
A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{A}_0, \mathbb{A}_2, \mathbb{A}_3\sim \mathbb{A}_1}\), i \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}_1\right| \le \left| X\right|}\), a zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, a zatem dla rodziny:
gdyż zbiory będące w innych z tych ośmiu postaci niż te powyżej( niż te zbiory z tych dwóch rodzin zbiorów ), są to: albo przedziały początkowe albo są to reszty, a w rodzinię \(\displaystyle{ \mathbb{B}_3}\) nie ma przedziałów początkowych ani reszt.
A zatem ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X\sim X}\) i \(\displaystyle{ \left|\mathbb{A}^+ \right| \le \left| X\right|}\), więc \(\displaystyle{ \mathbb{B}_{3} ^{'}= \mathbb{A}^{+} \cup \mathbb{B}_{X}\sim X.}\)
i \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1 ^{'} \sim X}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_2 \sim X}\), i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony to również \(\displaystyle{ \mathbb{B}_2 ^{'} =\mathbb{B}_2\setminus \left\{ \emptyset,X\right\} \sim X}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ \mathbb{D}'}\) jako suma trzech zbiorów równolicznych ze zbiorem \(\displaystyle{ X,}\) zbiorem nieskończonym, jest zbiorem równolicznym z \(\displaystyle{ X}\) , więc \(\displaystyle{ \mathbb{D}' \sim X}\), i z podobnych przyczyn \(\displaystyle{ \mathbb{D}=\mathbb{D}' \cup \left\{ \emptyset ,X\right\}\sim X,}\) a więc \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D}\right| =\left| X\right|.\square}\)
Wynika stąd, ponieważ zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem jest uporządkowany w sposób ciagły, i w \(\displaystyle{ \RR}\) nie ma liczby najmniejszej ani największej, (i zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest nieskończony) , a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{D} _{\RR} \right|= \left| \RR\right| }\), czyli w zbiorze liczb rzeczywistych jest continuum przedziałów.
Zauważmy jeszcze, że w zbiorze liczb rzeczywistych z porządkiem odwrotnym do zwykłego tu również istnieje dokładnie continuum przedziałów.
Tzn. rozważmy zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ (\RR, \ge := \le ^{-1} )}\) , i rozważmy rodzinę przedziałów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) daną jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ A\subset \RR\Bigl| \ \ A\hbox{ jest przedziałem względem } \ge \right\} .}\)
Uzasadnimy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right|= \left| \RR\right|.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ zwykły porządek na \(\displaystyle{ \RR}\) jest porządkiem ciągłym, więc również \(\displaystyle{ \ge = \le ^{-1}}\) jako porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły( jest to prosty fakt) na \(\displaystyle{ \RR}\), i zbiór liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem nieskończonym.
Pokażemy jeszcze, że w \(\displaystyle{ (\mathbb{R}, \ge )}\) nie ma elementu najmniejszego ani największego.
Przypuśćmy, że liczba \(\displaystyle{ x\in \RR}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ \RR}\) względem \(\displaystyle{ \ge = \le ^{-1}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x}\) jest elementem największym w \(\displaystyle{ \RR}\) względem \(\displaystyle{ \le}\) , a w \(\displaystyle{ \RR}\) nie ma liczby największej- sprzeczność.
Wobec czego w \(\displaystyle{ \left( \RR, \ge\right)}\) nie ma elementu najmniejszego.
Na podobnej zasadzie w \(\displaystyle{ \left( \RR, \ge\right)}\) nie ma elementu największego.
Spełnione są zatem założenia naszego twierdzenia, które udowodniłem w tym poście, a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right|= \left| X\right| = \left| \RR\right|}\), czyli również w \(\displaystyle{ \left( \RR, \ge \right)}\) jest continuum przedziałów\(\displaystyle{ .\square}\)
Dzisiaj udowodniłem, że w zbiorze dobrze uporządkowanym (nieskończonym) wszystkich przedziałów jest dokładnie tyle, ile jest elementów tego zbioru dobrze uporządkowanego. Wynika stąd, że w zbiorze liczb naturalnych z naturalnym porządkiem jest dokładnie przeliczalnie wiele wszystkich przedziałów. Wykazałem też dziś, że w porządku odwrotnym do dobrego wszystkich przedziałów również jest tyle, ile jest elementów tego danego zbioru ( zbioru nieskończonego). W ogóle, ten fakt wynika z takiego ogólnego, prostego i ciekawego faktu mówiącego, że w zbiorze liniowo uporządkowanym jest tyle samo przedziałów ile jest przedziałów w porządku do niego odwrotnym. Jednak w zbiorze liniowo uporządkowanym nieskończonym może istnieć istotnie więcej przedziałów niż elementów tego danego zbioru. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym nieskończonym. Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ A\subset X \Bigl| \ \ A \hbox{ jest } przedziałem \right\}.}\)
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right| = \left| X\right|.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) wszystkich przedziałów podzielmy na trzy podrodziny, dane jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_1= \left\{ A\in\mathbb{B}: A \hbox{ jest przedziałem początkowym} \right\}}\) , i
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_2= \left\{ A\in\mathbb{B}: A\hbox{ jest resztą } \right\}}\), i
\(\displaystyle{ \mathbb{B}_3= \left\{ A\in \mathbb{B}: A \hbox{ nie jest przedziałem początkowym ani resztą} \right\} .}\)
Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1 \cup \mathbb{B}_2 \cup \mathbb{B}_3=\mathbb{B}.}\)
Ponieważ zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do rodziny jego wszystkich istotnych przedziałów początkowych poprzez funkcję podobieństwa:
a podobieństwo jest bijekcją, więc \(\displaystyle{ X\sim \mathbb{B}_1 \setminus \left\{ X\right\}.}\)
Przypominam, w zbiorze liniowo uporządkowanym jest tyle samo przedziałów początkowych co reszt- jest to prosty fakt, i w związku z czym: \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1\sim \mathbb{B}_2.}\)
Definiujemy teraz funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{B}_3 \rightarrow X \times X}\) w następujący sposób:
Jeśli \(\displaystyle{ A\in \mathbb{B}_3}\), wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\), i zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym ani resztą; i mamy \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\), bo \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem początkowym, a zbiór pusty jest zawsze przedziałem początkowym, wobec czego \(\displaystyle{ A \neq \emptyset.}\) A zatem taki niepusty właściwy przedział w zbiorze dobrze uporządkowanym musi być w postaci przedziału domknięto-otwartego, na mocy faktu który udowodniłem: TUTAJ, W PIERWSZYM POŚCIE. A zatem \(\displaystyle{ A= \left[ x,y\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in X}\) i \(\displaystyle{ x<y}\), i temu przedziałowi \(\displaystyle{ A}\) przypiszmy parę jego końców, tzn. przypiszmy:
\(\displaystyle{ f:\mathbb{B}_3 \rightarrow X \times X.}\)
Ponieważ dwa elementy zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) wyznaczają przedziały domknięto-otwarte (tzn. końce takich przedziałów wyznaczają je), więc łatwo jest pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f }\)jest różnowartościowa.
A zatem:
\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}_3\right| \le \left| X \times X\right| = \left| X\right|-}\) gdyż zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, więc na mocy twierdzenia Hessenberga \(\displaystyle{ X \times X\sim X}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}_3\right| \le \left| X\right|-}\)
Jednocześnie mamy \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \mathbb{B}_1 \cup \mathbb{B}_2 \cup \mathbb{B}_3}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1\sim X \cup \left\{ a\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest pewnym elementem spoza zbioru \(\displaystyle{ X}\), ale zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, więc dodanie jednego elementu nie zwiększa jego mocy, więc jest to zbiór równoliczny ze zbiorem \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{B}_1\sim X}\); i mamy \(\displaystyle{ \mathbb{B}_2\sim \mathbb{B}_1 }\) i \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}_3\right| \le \left| X \right|}\), wobec czego: \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B} \right| = \left| X\right|.\square}\)
Wynika stąd, że w zbiorze liczb naturalnych \(\displaystyle{ \left( \NN, \le \right)}\) rodzina przedziałów: \(\displaystyle{ \left\{ A\subset \NN: A \hbox{ jest przedziałem w} \left( \NN, \le \right) \right\}}\) jest równoliczna ze zbiorem \(\displaystyle{ \NN.}\)
Wykażemy teraz, że w porządku odwrotnym do dobrego wszystkich przedziałów jest również tyle ile jest elementów danego zbioru. Tzn.:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym nieskończonym. Niech:
\(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right|= \left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest przedziałem w} \left( X, \le ^{-1} \right) \right\},}\)
I pytamy o moc rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}.}\)
LEMAT: Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to tyle samo jest przedziałów w \(\displaystyle{ \left( X, \le \right),}\) ile jest przedziałów w porządku do niego odwrotnym, tzn. rodziny zbiorów:
\(\displaystyle{ \mathbb{B} = \left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest przedziałem w } \left( X, \le \right) \right\}}\) , oraz \(\displaystyle{ \mathbb{B}' =\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A \hbox{ jest przedziałem w } \left( X, \le ^{-1} \right) \right\} ,}\)
są równoliczne.
Nim to udowodnimy, przypomnijmy prosty fakt, że jeśli w zbiorze liniowo uporządkowanym mamy przedział \(\displaystyle{ A}\), to w porządku do niego odwrotnym zbiór \(\displaystyle{ A}\) również jest przedziałem- jest to prosty fakt.
Łatwo będzie teraz udowodnić nasz lemat.
BARDZO PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU::
Wykażemy, że \(\displaystyle{ \mathbb{B} =\mathbb{B}'.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), to \(\displaystyle{ A\subset X}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym w \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\), wtedy, na mocy wspomnianego powyżej faktu, zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem również względem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right) }\), a zatem \(\displaystyle{ A\in \mathbb{B}'.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}',}\) wtedy \(\displaystyle{ A\subset X}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym względem \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1} \right)}\), więc podobnie zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem względem \(\displaystyle{ \left( X,\left( \le ^{-1} \right) ^{-1}= \le \right)}\), i \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}.}\)
A zatem \(\displaystyle{ \mathbb{B}'=\mathbb{B}}\).
Ponieważ każdy zbiór jest równoliczny z samym sobą, a zatem \(\displaystyle{ \mathbb{B}'\sim \mathbb{B}.\square}\)
Łatwo będzie teraz udowodnić nasz fakt:
DOWÓD (zachowując wprowadzone oznaczenia):
Niech:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ A\subset X\Bigl| \ \ A\hbox{ jest przedziałem w }\left( X, \le \right) \right\}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym nieskończonym, to wiemy już, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}\right| = \left| X\right|.}\) Wystarczy zatem zauważyć, że w szczególności \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, i stosując powyższy lemat dostajemy, że \(\displaystyle{ \left| \mathbb{A}\right| = \left| \mathbb{B}\right|}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| \mathbb{B}\right|= \left| X\right|.\square }\)
I w zbiorze liniowo uporządkowanym nieskończonym może istnieć istotnie więcej wszystkich przedziałów niż jest elementów tego danego zbioru. Już to chyba prezentowalem na forum, więc może podam tylko:
SZKIC DOWODU:
Wykażemy najpierw, że w zbiorze liniowo uporządkowanym (nieskończonym ) może istnieć istotnie więcej wszystkich przedziałów początkowych niż elementów danego zbioru.
Wystarczy rozważyć zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le \right)}\) z naturalnym porządkiem, i dla dowolnej ustalonej liczby niewymiernej rozważmy zbiór wszystkich liczb wymiernych mniejszej od niej, jako przedział początkowy. Dla innej liczby niewymiernej otrzymamy inny przedział początkowy. A zatem, tych przedziałów początkowych będzie co najmniej tyle, ile jest wszystkich liczb niewymiernych, czyli co najmniej continuum. Ponieważ zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, to w \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le \right)}\) jest istotnie więcej przedziałów początkowych niż elementów tego zbioru liczb wymiernych.
Ponieważ każdy przedział początkowy jest przedziałem, to tym bardziej w \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le \right)}\) istnieje istotnie więcej wszystkich przedziałów niż elementów zbioru \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ \left( \QQ, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, nieskończonym.\(\displaystyle{ \square}\)
Jeszcze trzeba będzie zliczyć wszystkie przedziały początkowe i wszystkie przedziały w zbiorach typu zbioru liczb całkowitych.
Dodano po 29 dniach 19 godzinach 13 minutach 6 sekundach:
Zbadałem to:
[lurl=zbiory-teoria-mnogosci-f56/przedzialy-w-zbiorze-liniowo-uporzadkowa\(\displaystyle{ }\)nym-ciagly-t451253.html#p5649006 ] TUTAJ, W DRUGIM POŚCIE.[/lurl]