Aksjomat wyboru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 996
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 62 razy

Re: Aksjomat wyboru

Post autor: Jakub Gurak » 25 gru 2021, o 20:03

Czyli rozumiem, że podzbiór przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3} }\) może nie zawierać żadnej kostki otwartej i mieć dodatnią objętość :?:

Mniejsza o to, i te szczegóły specjalistyczne, topologiczne itd.- w tym nie siedzę, wolę elementarne rozwiązania.
Mi chodzi o sytuację, gdy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestreni \(\displaystyle{ \RR^3}\) zawiera pewną kostkę otwartą i jest ograniczony, czy również- zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera maksymalną kulę otwartą (czyli kulę bez sfery) :?:
a4karo pisze:
23 gru 2021, o 22:14
... Takie przykłady robi się na pierwszym roku. (zbiór Cantora, dywan Sierpińskiego, kostka Mengera).
Słyszeć, słyszałem, traktuje to tylko jako ciekawostkę, nie męczę głowy tym (nie tak jak mój znajomy z uczelni, on lubi dumać na temat zbioru Cantora, to od niego chyba właśnie pierwszy raz usłyszałem o tym), ja tą konstrukcję traktuje tylko jako ciekawostkę.
Cóż, widocznie można po wieczne czasy zgłębiać podstawy matematyki. Ja je ciągle poznaję, i czuję, że się rozwijam( w swoim tempie). :D I chyba szybko mi się to nie znudzi... :D :P

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 30355
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4860 razy

Re: Aksjomat wyboru

Post autor: Jan Kraszewski » 25 gru 2021, o 23:15

Jakub Gurak pisze:
25 gru 2021, o 20:03
Czyli rozumiem, że podzbiór przestrzeni \(\displaystyle{ \RR ^{3} }\) może nie zawierać żadnej kostki otwartej i mieć dodatnią objętość :?:
Tak.
Jakub Gurak pisze:
25 gru 2021, o 20:03
Mi chodzi o sytuację, gdy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) przestreni \(\displaystyle{ \RR^3}\) zawiera pewną kostkę otwartą i jest ograniczony, czy również- zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera maksymalną kulę otwartą (czyli kulę bez sfery) :?:
No przecież wczoraj dostałeś już odpowiedź:
Dasio11 pisze:
24 gru 2021, o 11:50
Odpowiedź jest twierdząca nawet bez założenia o dodatniej objętości, wystarczy ograniczoność i niepuste wnętrze.

Dowód: niech

\(\displaystyle{ R = \sup \{ r > 0 : A \text{ zawiera kulę otwartą o promieniu } r \}}\)

i weźmy ciąg kul \(\displaystyle{ B(x_n, r_n) \subseteq A}\) o promieniach dążących do \(\displaystyle{ R}\). Ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest ograniczony, więc ma podciąg zbieżny do pewnego \(\displaystyle{ x \in \RR^3}\), a dla uproszczenia notacji możemy przyjąć, że owym podciągiem jest sam \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ B(x, R)}\) jest szukaną maksymalną kulą zawartą w \(\displaystyle{ A}\).

Wystarczy wykazać zawieranie \(\displaystyle{ B(x, R) \subseteq A}\), bo większa kula o tej własności w oczywisty sposób istnieć nie może. Weźmy więc dowolny \(\displaystyle{ y \in B(x, R)}\) i dla \(\displaystyle{ \varepsilon := R - d(x, y) > 0}\) znajdźmy takie \(\displaystyle{ n}\), takie że \(\displaystyle{ d(x_n, x) < \frac{\varepsilon}{2}}\) i \(\displaystyle{ r_n > R - \frac{\varepsilon}{2}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ d(x_n, y) \le d(x_n, x) + d(x, y) < \frac{\varepsilon}{2} + R - \varepsilon = R - \frac{\varepsilon}{2} < r_n}\),

czyli \(\displaystyle{ y \in B(x_n, r_n) \subseteq A}\) i stąd \(\displaystyle{ y \in A}\).
JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 996
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 62 razy

Re: Aksjomat wyboru

Post autor: Jakub Gurak » 14 maja 2022, o 16:22

Udowodniłem przedwczoraj, że jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczonym podzbiorem płaszczyzny, a para liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) punktem z wnętrza tego obszaru \(\displaystyle{ B}\), to istnieje największe koło otwarte o środku w \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) zawarte w obszarze \(\displaystyle{ B}\). Przedstawię teraz dowód tego intuicyjnego faktu.


DOWÓD TEGO FAKTU:

Oznaczmy, dla \(\displaystyle{ R\in\RR_+}\), oznaczmy przez \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0, y_0\right); R \right)}\) koło otwarte o środku w punkcie \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0\right)}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\).

Niech:

\(\displaystyle{ A=\left\{ R\in \RR _{+}: \ \ K\left( \left( x_0,y_0\right); R \right)\subset B \right\}.}\)

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest ograniczony, to \(\displaystyle{ B\subset S}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest pewnym kołem domkniętym. Niech \(\displaystyle{ R_S}\) będzie promieniem koła \(\displaystyle{ S}\).

Pokażemy, że liczba \(\displaystyle{ R_S}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A.}\)
Niech \(\displaystyle{ R\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ R>0}\), i wtedy \(\displaystyle{ K(\left( x_0,y_0, \right) ,R)\subset B\subset S}\), czyli \(\displaystyle{ K(\left( x_0,y_0\right);R )\subset S,}\) a stąd \(\displaystyle{ R \le R_S}\), i liczba \(\displaystyle{ R_S}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

A więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest ograniczony z góry. Ponieważ punkt \(\displaystyle{ (x_0, y_0)}\) jest punktem z wnętrza zbioru \(\displaystyle{ B}\), to łatwo uzasadnić, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty. Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem ograniczonym od góry (i niepustym), więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\). Wtedy to supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\) jest ograniczeniem górnym niepustego zbioru \(\displaystyle{ A\subset \RR_+}\), a więc to supremum jest liczbą rzeczywistą dodatnią.

Rozważmy koło otwarte: \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A\right)}\) o promieniu równym temu supremum. Wykażemy, że jest to największe koło otwarte o środku w \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0\right)}\) zawarte w obszarze \(\displaystyle{ B.}\)


Wykażemy, że:

\(\displaystyle{ \bigcup_{R\in A} K\left( \left( x_0,y_0\right); R \right) = K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A\right).}\)

Wykażemy zatem inkluzję w obydwie strony.


Inkluzja w prawo jest prosta:

Jeśli \(\displaystyle{ (x,y)\in \bigcup_{R\in A} K\left( \left( x_0,y_0\right);R \right)}\), to \(\displaystyle{ \left( x,y\right)\in K\left( \left( x_0,y_0\right):R \right)}\), gdzie \(\displaystyle{ R\in A}\). Wtedy \(\displaystyle{ \bigvee A}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), skąd \(\displaystyle{ R \le \bigvee A}\). Wtedy, na podstawie nierówności opisującej koło otwarte, otrzymujemy, że:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2} +\left( y-y_0\right) ^{2} < R ^{2}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ R\in A}\), a więc \(\displaystyle{ R>0}\) i \(\displaystyle{ \bigvee A \ge R}\), wiec to jest nie większe niż \(\displaystyle{ \left( \bigvee A\right) ^{2}}\), czyli:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2}+\left( y-y_0\right) ^{2} <\left( \bigvee A\right) ^{2} }\),

a zatem \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A\right),}\)

co dowodzi inkluzji w prawo.


Aby pokazać inkluzję w lewo, to :

Niech \(\displaystyle{ \left( x,y\right)\in K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right) }\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2}+ \left( y-y_0\right) ^{2}< \left( \bigvee A\right) ^{2}.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x=x_0}\) i \(\displaystyle{ y=y_0}\), to ustalając liczbę \(\displaystyle{ R\in A \neq \left\{ \right\}}\) , wtedy \(\displaystyle{ R>0}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2}+ \left( y-y_0\right) ^{2}=0 < R^2}\),

a zatem \(\displaystyle{ (x,y)\in K\left( \left( x_0,y_0\right); R \right)}\), i ponieważ \(\displaystyle{ R\in A}\), więc tym bardziej:

\(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in \bigcup_{R_0\in A} K\left( \left( x_0, y_0\right); R_0 \right) .}\)

A jeśli \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \neq \left( x_0,y_0\right)}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ 0<\left( x-x_0\right) ^{2} +\left( y-y_0\right) ^{2}=:M.}\)

Rozważmy \(\displaystyle{ R= \sqrt{M}>0}\) (wow :o , po raz pierwszy, od co najmniej kilku lat, używam, w swoich rozważaniach, czegoś takiego jak pierwiastek kwadratowy, wow, jakby na studiach kazaliby mi coś takiego robić, to nie narzekałbym, a kazali mi robić rzeczy o wiele bardziej żmudne :twisted: ).

Wtedy \(\displaystyle{ M<\left( \bigvee A\right) ^{2}}\), a ponieważ również \(\displaystyle{ \left( \bigvee A\right) >0}\), to \(\displaystyle{ R= \sqrt{M}< \bigvee A.}\)

Ustalmy \(\displaystyle{ R_0\in A \neq \left\{ \right\}}\) , wtedy \(\displaystyle{ R_0>0}\), i zauważmy, że wtedy każda liczba \(\displaystyle{ 0<R_1<R_0}\): \(\displaystyle{ R_1\in A}\), gdyż:

\(\displaystyle{ K(\left( x_0,y_0\right):R_1 )\subset K\left( \left( x_0,y_0\right); R_0 \right)\subset B}\), gdyż \(\displaystyle{ R_0\in A}\). A zatem \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0, y_0\right); R_1 \right)\subset B}\) i \(\displaystyle{ R_1\in A}\).

Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest mocy continuum.

Udowodnijmy teraz, pewien intuicyjnie oczywisty, lemat.

Lemat. Jeśli niepusty zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A\subset \RR}\) ma supremum \(\displaystyle{ \bigvee A}\), a liczba \(\displaystyle{ x\in\RR}\) jest mniejsza od tego supremum, to istnieje element zbioru \(\displaystyle{ A}\) silnie większy od \(\displaystyle{ x}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::    
A więc ponieważ \(\displaystyle{ R= \sqrt{M}<\bigvee A}\), więc stosując lemat powyżej otrzymujemy pewien element \(\displaystyle{ R_1\in A}\), taki, że \(\displaystyle{ R= \sqrt{M}<R_1}\). Rozważmy koło otwarte \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0,y_0\right); R_1 \right)}\). Wtedy:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2}+\left( y-y_0\right) ^{2}=M= \left( \sqrt{M} \right) ^{2} = R ^{2}}\),

i ponieważ \(\displaystyle{ R<R_1,}\) (a \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ R_1}\) są liczbami większymi od \(\displaystyle{ 0}\)), więc to jest silnie mniejsze niż \(\displaystyle{ R_1 ^{2}}\), czyli:

\(\displaystyle{ \left( x-x_0\right) ^{2} +\left( y-y_0\right) ^{2}< R_1 ^{2}}\),

a stąd \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in K\left( \left( x_0,y_0\right);R_1 \right)}\), i ponieważ \(\displaystyle{ R_1\in A}\), a więc tym bardziej:

\(\displaystyle{ \left( x,y\right)\in \bigcup_{R\in A} K\left( \left( x_0,y_0\right);R \right). }\)

A zatem:

\(\displaystyle{ \bigcup_{R\in A} K\left( \left( x_0,y_0\right); R \right) = K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right).}\)


I jesli \(\displaystyle{ R\in A}\), wtedy z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\), mamy: \(\displaystyle{ K\left( (x_0,y_0); R\right) \subset B}\), i, z dowolności wyboru \(\displaystyle{ R\in A,}\) otrzymujemy, że każde koło otwarte \(\displaystyle{ K \left( (x_0,y_0; R)\right) }\)(gdzie \(\displaystyle{ R\in A}\)) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc również ich unia (suma) \(\displaystyle{ \bigcup_{R\in A} K\left( \left( x_0,y_0\right); R \right) }\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\), a zatem również koło otwarte \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right)}\), jako ten sam zbiór, jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\).

Rozważając rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) kół otwartych:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ C\subset \RR ^{2}: \ \ C \hbox{ jest kołem otwartym o środku w } (x_0, y_0) \hbox{ i pewnym promieniu } R>0, \hbox{ i } C\subset B \right\} .}\)

Wtedy \(\displaystyle{ K(\left( x_0,y_0\right) ; \bigvee A) \in\mathbb{B}.}\)

A oznaczając przez \(\displaystyle{ \mathbb{A} }\) rodzinę kół otwartych o środku w naszym punkcie i promieniach branych ze zbioru \(\displaystyle{ A}\), tzn.:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ K\left( \left( x_0,y_0\right);R \right): \ R\in A\right\}}\),

to mamy \(\displaystyle{ \mathbb{A}\subset \mathbb{B}}\) ( gdyż na podstawie definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\), to jeśli \(\displaystyle{ R\in A}\), to \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0,y_0 \right);R \right) \subset B}\) ). I mamy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}= K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right) \in \mathbb{B}}\), a więc jest to koło otwarte o środku w \(\displaystyle{ \left( x_0,y_0\right)}\) zawarte w zbiorze \(\displaystyle{ B}\).


Pozostaje pokazać, że jest to takie największe koło otwarte.

Jeśli \(\displaystyle{ C:=K\left( \left( x_0, y_0\right); R \right)\subset B}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) jest pewnym dodatnim promieniem, i to koło otwarte jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\), to z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\) możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ R\in A}\), a zatem \(\displaystyle{ C\in \mathbb{A}}\), a zatem (z własności sumy): \(\displaystyle{ C\subset \bigcup\mathbb{A}=K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right)}\), a zatem koło otwarte \(\displaystyle{ K\left( \left( x_0,y_0\right); \bigvee A \right)}\) jest największym kołem otwartym zawartym w zbiorze \(\displaystyle{ B. \square}\) :D


Można pokazać, podobnymi metodami (nie chcę mi się już pisać, a dowód zajmuje trochę miejsca), że suma niepustego łańcucha \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) (względem inkluzji) kół otwartych na płaszczyźnie, o środku w danym wspólnym punkcie, i ograniczonego przez pewne wspólne koło \(\displaystyle{ S}\)( tzn., gdy każde koło otwarte \(\displaystyle{ K\in\mathbb{B}}\): \(\displaystyle{ K\subset S}\)), wtedy suma \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}}\) jest kołem otwartym. Jednak suma łańcucha kół domkniętych na płaszczyźnie nie musi być kołem domkniętym, bo może być kołem otwartym. Wystarczy rozważyć rodzinę wszystkich kół domkniętych o środku w początku układu współrzędnych i promieniach silnie mniejszych od \(\displaystyle{ 1}\);wtedy suma takich kół domkniętych jest kołem otwartym o środku w początku układu współrzędnych I promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Okręgu nie osiągniemy, gdyż sumowane koła domknięte mają promienie silnie mniejsze od \(\displaystyle{ 1}\) , a więc jest to koło otwarte. A więc suma łańcucha kół domkniętych może być kołem otwartym. 8-)

ODPOWIEDZ