Zaznacz na rysunku zbiory

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
SeniorCapo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 17 paź 2021, o 00:33
Płeć: Mężczyzna
wiek: 19

Zaznacz na rysunku zbiory

Post autor: SeniorCapo »

Witam,
przychodzę z następującym zdaniem:

Zaznaczyć na rysunku zbiory:
(a) \({ \left\{ x \in\RR | ∃y∀z(y − z^{2} < x ∧ x ≤ y + \frac{1}{2} ∧ y ≥ 1)\right\} }\);
(b) \({ \left\{\left\langle x, y \right\rangle \in\RR^{2} | ∀z(y^{2} + (x − z)^{2} \neq 1) → ∃z((x − z)^{2} + (y − z ^{2})^{2} = 1)\right\} }\);

Z tego co wiem, to w a) ma wyjść zbiór \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), natomiast w b) ma być pasek \({ \left| y \right| \le 1 }\) na oraz obszar zaznaczony przez przesuwanie koła jednostkowego wzdłuż paraboli \({ t = z^2 }\). Nie rozumiem jak mają przbiegać przekształcenia do końcowej formy.

Jest to moje pierwsze zapytanie na portalu, więc jeśli coś zepsułem to proszę o wyrozumiałość.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2021, o 11:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczono w złym dziale.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Zaznacz na rysunku zbiory

Post autor: Jan Kraszewski »

Ad a).

Musisz przeanalizować znaczenie formuły

\(\displaystyle{ \exists y\forall z\left( y − z^{2} < x\land x \le y + \frac{1}{2} ∧ y \ge 1\right) .}\)

(zakładam, że kwantyfikatory kwantyfikują po zbiorze liczb rzeczywistych - to powinno być napisane).

Zauważ, że jest ona równoważna formule

\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land \forall z(y − z^{2} < x)\right) .}\)

Zauważ, że dla ustalonych \(\displaystyle{ x,y}\) warunek \(\displaystyle{ \forall z(y − z^{2} < x)}\), czyli \(\displaystyle{ \forall z(y -x < z^{2})}\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ y-x<0}\) (dlaczego?). Nasza formuła upraszcza się zatem do

\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land y<x \right).}\)

Szukamy zatem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) takich, że dla pewnego \(\displaystyle{ y\ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ y< x \le y + \frac{1}{2}.}\) Wobec tego nasz zbiór to \(\displaystyle{ \bigcup_{y\ge 1}\left( y,y + \frac{1}{2}\right]=(1,+\infty). }\)

JK
ODPOWIEDZ