Witam,
przychodzę z następującym zdaniem:
Zaznaczyć na rysunku zbiory:
(a) \({ \left\{ x \in\RR | ∃y∀z(y − z^{2} < x ∧ x ≤ y + \frac{1}{2} ∧ y ≥ 1)\right\} }\);
(b) \({ \left\{\left\langle x, y \right\rangle \in\RR^{2} | ∀z(y^{2} + (x − z)^{2} \neq 1) → ∃z((x − z)^{2} + (y − z ^{2})^{2} = 1)\right\} }\);
Z tego co wiem, to w a) ma wyjść zbiór \(\displaystyle{ (0,\infty)}\), natomiast w b) ma być pasek \({ \left| y \right| \le 1 }\) na oraz obszar zaznaczony przez przesuwanie koła jednostkowego wzdłuż paraboli \({ t = z^2 }\). Nie rozumiem jak mają przbiegać przekształcenia do końcowej formy.
Jest to moje pierwsze zapytanie na portalu, więc jeśli coś zepsułem to proszę o wyrozumiałość.
Zaznacz na rysunku zbiory
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 17 paź 2021, o 00:33
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 19
Zaznacz na rysunku zbiory
Ostatnio zmieniony 17 paź 2021, o 11:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczono w złym dziale.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczono w złym dziale.
-
- Administrator
- Posty: 34123
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5192 razy
Re: Zaznacz na rysunku zbiory
Ad a).
Musisz przeanalizować znaczenie formuły
\(\displaystyle{ \exists y\forall z\left( y − z^{2} < x\land x \le y + \frac{1}{2} ∧ y \ge 1\right) .}\)
(zakładam, że kwantyfikatory kwantyfikują po zbiorze liczb rzeczywistych - to powinno być napisane).
Zauważ, że jest ona równoważna formule
\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land \forall z(y − z^{2} < x)\right) .}\)
Zauważ, że dla ustalonych \(\displaystyle{ x,y}\) warunek \(\displaystyle{ \forall z(y − z^{2} < x)}\), czyli \(\displaystyle{ \forall z(y -x < z^{2})}\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ y-x<0}\) (dlaczego?). Nasza formuła upraszcza się zatem do
\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land y<x \right).}\)
Szukamy zatem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) takich, że dla pewnego \(\displaystyle{ y\ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ y< x \le y + \frac{1}{2}.}\) Wobec tego nasz zbiór to \(\displaystyle{ \bigcup_{y\ge 1}\left( y,y + \frac{1}{2}\right]=(1,+\infty). }\)
JK
Musisz przeanalizować znaczenie formuły
\(\displaystyle{ \exists y\forall z\left( y − z^{2} < x\land x \le y + \frac{1}{2} ∧ y \ge 1\right) .}\)
(zakładam, że kwantyfikatory kwantyfikują po zbiorze liczb rzeczywistych - to powinno być napisane).
Zauważ, że jest ona równoważna formule
\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land \forall z(y − z^{2} < x)\right) .}\)
Zauważ, że dla ustalonych \(\displaystyle{ x,y}\) warunek \(\displaystyle{ \forall z(y − z^{2} < x)}\), czyli \(\displaystyle{ \forall z(y -x < z^{2})}\) jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ y-x<0}\) (dlaczego?). Nasza formuła upraszcza się zatem do
\(\displaystyle{ \exists y\left( x \le y + \frac{1}{2} \land y \ge 1\land y<x \right).}\)
Szukamy zatem liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x}\) takich, że dla pewnego \(\displaystyle{ y\ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ y< x \le y + \frac{1}{2}.}\) Wobec tego nasz zbiór to \(\displaystyle{ \bigcup_{y\ge 1}\left( y,y + \frac{1}{2}\right]=(1,+\infty). }\)
JK