Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, i niech \(\displaystyle{ A,B\subset X}\) będą jego podzbiorami. Rozważmy ich zbiory lewostronne \(\displaystyle{ A^-,B^-}\), i pokażemy, że jeden z nich zawiera się w drugim.
Dowód:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ A^-\not\subset B^-}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ A^-\supset B^-.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A^-\not\subset B^-}\), to \(\displaystyle{ A^- \neq \emptyset}\) ( gdyż zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, w szczególności \(\displaystyle{ \emptyset \subset B^-}\) ) i \(\displaystyle{ A^- \not\subset B^-}\), więc zaprzeczając definicji inkluzji otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ a\in A^-}\), taki, że \(\displaystyle{ a\not\in B^-.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A^-}\), to element \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\).
Aby pokazać, żądaną inkluzję, to niech \(\displaystyle{ x\in B^-}\). Wtedy \(\displaystyle{ x\in X}\), i \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Aby wykazać, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), to weźmy \(\displaystyle{ b\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x \le b}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. wtedy \(\displaystyle{ x>b\in A}\), a \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ a \le b<x}\), więc \(\displaystyle{ a<x}\). Pokażemy, że w takim wypadku \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\). Niech \(\displaystyle{ c\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ B}\), więc \(\displaystyle{ a<x \le c}\), więc \(\displaystyle{ a<c}\), a zatem (z dowolności \(\displaystyle{ c}\)) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ B}\), (i \(\displaystyle{ a\in X}\)), więc wnioskujemy stąd, że \(\displaystyle{ a\in B^-}\) -sprzeczność. A zatem musi być \(\displaystyle{ x \le b}\), a zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\), skąd możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ x\in A^-. \square}\) (Wystarczy dowód pozbierać aby go zakończyć).
Nim udowodnimy analogiczny fakt dla zbiorów prawostronnych, podajmy najpierw lemat, że jeśli \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego podzbiorem, to dla porządku odwrotnego \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) mamy: \(\displaystyle{ A^+_ \le =A^- _{ \le ^{-1} }}\) - zbiór prawostronny zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku danego jest równy zbiorowi lewostronnemu tego zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem porządku odwrotnego.
Dowód:
Udowodnimy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, oraz mamy zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), to dla ich zbiorów prawostronnych \(\displaystyle{ A^+,B^+}\) -jeden się zawiera w drugim.
PROSTY DOWÓD:
Na mocy lematu \(\displaystyle{ A^+=A ^{-} _{ \le ^{-1} }}\) oraz \(\displaystyle{ B ^{+} _{ \le } =B ^{-} _{ \le ^{-1} } .}\) Mamy \(\displaystyle{ \left( X, \le ^{-1}\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), i możemy rozważyć ich zbiory lewostronne względem porządku odwrotnego \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } , B ^{-} _{ \le ^{-1} } }\), zatem na mocy pierwszego twierdzenia, otrzymujemy, że jeden z tych zbiorów się zawiera w drugim, tzn. \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } \subset B ^{-} _{ \le ^{-1} }}\) lub \(\displaystyle{ A ^{-} _{ \le ^{-1} } \supset B ^{-} _{ \le ^{-1} }}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ A^+ _{ \le } \subset B^+ _{ \le }}\) lub \(\displaystyle{ A^+ _{ \le } \supset B^+ _{ \le } . \square}\)
Wykażemy jeszcze, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym , a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jest dowolnym przedziałem, to suma zbioru lewostronnego przedziału \(\displaystyle{ A}\) oraz przedziału \(\displaystyle{ A}\) oraz jego zbioru prawostronnego daje cały zbiór \(\displaystyle{ X}\), tzn.: \(\displaystyle{ A ^{-} \cup A \cup A^+=X.}\)
Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ A=\emptyset}\), to \(\displaystyle{ A^{-} =X, A ^{+} =X}\), gdyż dowolny element \(\displaystyle{ X}\) jest ograniczeniem dolnym zbioru pustego, i dowolny element \(\displaystyle{ X}\) jest ograniczeniem górnym zbioru pustego, a zatem \(\displaystyle{ A^-=X, A^+=X}\), i stąd równość zachodzi. Załóżmy dalej, że \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem niepustym.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ A\subset X, A^-\subset X}\) i \(\displaystyle{ A^+\subset X}\), w efekcie ich suma jest również podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to weźmy \(\displaystyle{ x\in X}\), i załóżmy, że \(\displaystyle{ x\not\in A^-}\), i \(\displaystyle{ x\not\in A^+}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ x\in A.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x\not\in A^-}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem dolnym \(\displaystyle{ A}\) ( i \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\)), więc zaprzeczając definicji ograniczenia dolnego otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ a\in A}\), takie że \(\displaystyle{ x\not \le a}\). Wtedy \(\displaystyle{ a<x .}\) Podobnie, ponieważ \(\displaystyle{ x\not\in A^+}\), to \(\displaystyle{ x}\) nie jest ograniczeniem górny zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( i \(\displaystyle{ A \neq \emptyset}\)), więc otrzymujemy, że istnieje \(\displaystyle{ b\in A}\), takie, że \(\displaystyle{ x\not \ge b}\), wtedy \(\displaystyle{ x<b}\). A zatem \(\displaystyle{ A\ni a<x<b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem, więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x\in A. \square }\)
Zbiory ograniczeń dolnych/górnych mają ciekawe zastosowanie w rozwiązaniu takiego poniższego zadania:
W zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy podzbiór ma supremum, dokładnie wtedy, gdy każdy podzbiór ma infimum.
Szkic dowodu:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór ma supremum (czyli takim, że podzbiory zawsze mają supremum), i pokazujemy, ze również każdy podzbiór ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A}\) zatem będzie podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\). Pokazujemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Rozważmy zbiór na lewo od \(\displaystyle{ A}\)- zbiór ograniczeń dolnych \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ A^-}\), taki zbiór, będący podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\), na mocy założenia, ma supremum, i pokazujemy, że to supremum jest infimum zbioru na prawo- zbioru \(\displaystyle{ A}\).
W drugą stronę -symetrycznie: Załóżmy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) każdy podzbiór ma infimum( czyli takim, że podzbiory zawsze mają infimum). Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\), pokazujemy, że \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Rozważmy zbiór na prawo od niego- zbiór \(\displaystyle{ A^+.}\) Taki zbiór na mocy założenia ma infimum, i pokazujemy, że to infimum jest supremum zbioru na lewo- zbioru \(\displaystyle{ A.\square }\)
Chyba piękne