Znaleźć klasy abstrakcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
aloedracena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2021, o 21:16
Płeć: Mężczyzna

Znaleźć klasy abstrakcji

Post autor: aloedracena »

Sprawdzić, że relacja \(\displaystyle{ R \subseteq \RR \times \RR}\) zdefiniowana równoważnością:
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow \exists _{z} (x − y) = z}\)
jest relacją równoważności i znaleźć klasy abstrakcji dla \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i dla \(\displaystyle{ 0}\)

Poradziłem sobie z udowodnieniem, że dana relacja jest rownoważnością, czy ktoś mógłby ocenić, czy moje rozumowanie jest dobre jeśli chodzi o klasy abstrakcji?

\(\displaystyle{ [ \sqrt{2} ] _{R} = \{x:xR \sqrt{2} \}=\{x: \exists _{z} (x − \sqrt{2}) = z\} = \{R\}}\)

Z góry dziękuje za pomoc.
Ostatnio zmieniony 20 cze 2021, o 22:35 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Znaleźć klasy abstrakcji

Post autor: Janusz Tracz »

aloedracena pisze: 20 cze 2021, o 21:34 Sprawdzić, że relacja \(\displaystyle{ R ⊆ R × R}\)
To nie jest najszczęśliwsze oznaczenie. Pewnie miało być \(\displaystyle{ R \subseteq \RR \times \RR}\). Następnie pojawia się napis
aloedracena pisze: 20 cze 2021, o 21:34 \(\displaystyle{ ...= \{R\}}\)
co to? Poza tym relacja
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow (\exists z\in \RR) x − y = z}\)

jest raczej nudna (bo każda jej klasa abstrakcji to \(\displaystyle{ \RR}\)) i podejrzewam, że coś zgubiłeś. Czy nie miało być tak

\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow (\exists z\in \QQ) x − y = z.}\)
aloedracena
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 cze 2021, o 21:16
Płeć: Mężczyzna

Re: Znaleźć klasy abstrakcji

Post autor: aloedracena »

Faktycznie miało być tak \(\displaystyle{ R \subseteq \RR \times \RR}\).
Niczego nie zgubiłem i relacja faktycznie wygląda tak jak napisałem, a z tym \(\displaystyle{ ...= \{R\}}\), chodziło mi właśnie o to, że klasą abstrakcji \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest właśnie \(\displaystyle{ \RR}\).
Teraz już wszystko jasne, dzięki :)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Znaleźć klasy abstrakcji

Post autor: Jan Kraszewski »

aloedracena pisze: 20 cze 2021, o 22:43Niczego nie zgubiłem i relacja faktycznie wygląda tak jak napisałem,
Ale to oznacza, że zadanie jest źle - bo niejednoznacznie - sformułowane. Arbitralnie przyjąłeś, że kwantyfikator kwantyfikuje po \(\displaystyle{ z\in \RR}\), ale to w żaden sposób nie wynika z treści zadania. Wersja z \(\displaystyle{ z\in\QQ}\) (bądź \(\displaystyle{ z\in\ZZ}\)) jest równie dobra/prawdopodobna.
aloedracena pisze: 20 cze 2021, o 22:43a z tym \(\displaystyle{ ...= \{R\}}\), chodziło mi właśnie o to, że klasą abstrakcji \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) jest właśnie \(\displaystyle{ \RR}\).
No to źle, bo istnieje bardzo istotna różnica pomiędzy poprawną odpowiedzią \(\displaystyle{ \RR}\), a podaną przez Ciebie - niepoprawną - \(\displaystyle{ \{\RR\}}\).

JK
ODPOWIEDZ