smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:191.
\(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] =f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\)
Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ f\left[ A\cup B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\):
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cup B\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje
\(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro
\(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) to z def. sumy zbiorów mamy, że
\(\displaystyle{ x \in A}\) lub
\(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] }\).
OK.
smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:19Dowód inkluzji
\(\displaystyle{ f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A\cup B\right]}\):
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]\cup f\left[ B\right]}\). Wówczas
\(\displaystyle{ y=f\left( \red{x}\right) \in f\left[ A\right] }\) lub
\(\displaystyle{ y=f\left( \red{x}\right) \in f\left[ B\right] }\). Gdy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[A \right]}\) to
\(\displaystyle{ x \in A}\). Gdy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) to
\(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem
\(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) czyli
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cup B\right] }\).
W zasadzie dobrze, ale jest niezręczność w sformułowaniu - pojawia się czerwone
\(\displaystyle{ \red{x}}\), a nie wiadomo, co to jest. Dlatego zamiast
"Wówczas
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) lub
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\). Gdy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[A \right]}\) to
\(\displaystyle{ x \in A}\). Gdy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\) to
\(\displaystyle{ x \in B}\). Zatem
\(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) czyli
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cup B\right] }\)."
lepiej jest napisać
"Wówczas
\(\displaystyle{ y\in f\left[ A\right] }\) lub
\(\displaystyle{ y \in f\left[ B\right] }\). Jeśli
\(\displaystyle{ y\in f\left[ A\right] }\), to istnieje
\(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f(x)}\). Jeśli
\(\displaystyle{ y\in f\left[B\right] }\), to istnieje
\(\displaystyle{ x \in B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f(x).}\) Zatem istnieje
\(\displaystyle{ x \in A\cup B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right)}\), czyli
\(\displaystyle{ y\in f\left[ A\cup B\right] }\)."
smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:192.
\(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] \subseteq f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\).
Dowód:
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\cap B\right]}\). Wówczas istnieje
\(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro
\(\displaystyle{ x \in A\cap B}\) to
\(\displaystyle{ x \in A}\) oraz
\(\displaystyle{ x \in B}\). Wówczas dla
\(\displaystyle{ x \in A}\) mamy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\) oraz dla
\(\displaystyle{ x \in B}\) mamy
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ B\right] }\), a więc
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).
OK.
Mogłeś też skorzystać z udowodnionej wcześniej własności obrazu (i z własności przekroju zbiorów): ponieważ
\(\displaystyle{ A\cap B \subseteq A}\) i
\(\displaystyle{ A\cap B \subseteq B}\), więc
\(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[A]}\) i
\(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[{}B]}\), zatem
\(\displaystyle{ f[A\cap B] \subseteq f[A]\cap f[{}B].}\)
smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:193.
\(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] \subseteq f\left[ A \setminus B\right]}\).
Dowód:
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolny element
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\). Wówczas
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) oraz
\(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\). Z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje zatem
\(\displaystyle{ x \in X}\) takie, że
\(\displaystyle{ x \in A}\) oraz \(\displaystyle{ \red{x\notin B}}\) dla którego
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro
\(\displaystyle{ x \in A}\) oraz
\(\displaystyle{ x\notin B}\) to
\(\displaystyle{ x \in A \setminus B}\), a zatem
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\setminus B\right] }\).
To nie tak prosto - nie można wygłosić czerwonego stwierdzenia bez uzasadnienia. Z faktu, że
\(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\) możesz wywnioskować, że istnieje
\(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że
\(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\), ale to, że ten właśnie
\(\displaystyle{ x}\) nie należy do zbioru
\(\displaystyle{ B}\) powinieneś krótko uzasadnić, korzystając z tego, że
\(\displaystyle{ y\notin f\left[ B\right]}\).
smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:19Twierdzenie: "jeżeli
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\)".
Dowód:
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech
\(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) będzie
dowolną niepustą rodziną zbiorów taką, że \(\displaystyle{ \red{\mathcal {A}=\left\{ A,B\right\}} }\), gdzie
\(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\). Wówczas
\(\displaystyle{ A\cap B=\bigcap\mathcal {A}}\) dla dowolnych
\(\displaystyle{ A,B \in \mathcal {A}}\). Skoro
\(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to korzystając z odp. twierdzenia mamy, że
\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right]}\), a zatem
\(\displaystyle{ f\left[ A\cap B\right] =f\left[ A\right]\cap f\left[ B\right] }\).
To twierdzenie istotnie jest szczególnym przypadkiem twierdzenia, które udowodniłeś wcześniej, więc można tak wnioskować. Wszelakoż forma Ci nie wyszła - czerwony fragment brzmi jak "niech
\(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną liczbą rzeczywistą równą 1" (czyli "Dostarczamy naszym klientom każdy model auta w dowolnym kolorze, pod warunkiem, że będzie to Ford T w kolorze czarnym"
), czyli niedobrze. Wystarczy napisać "Niech
\(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A,B\right\} }\)" - Ty znasz twierdzenie w przypadku ogólnym dla
dowolnej niepustej rodziny
\(\displaystyle{ \mathcal {A}}\), które stosujesz do
konkretnej (a nie dowolnej!) rodziny
\(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A,B\right\} }\).
smo pisze: ↑17 maja 2021, o 22:19Twierdzenie: "jeżeli
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość
\(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ A \setminus B\right] }\), gdzie
\(\displaystyle{ A,B \subseteq X}\)."
Dowód:
Niech
\(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją oraz niech
\(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right] =f\left[ T\right] }\), gdzie
\(\displaystyle{ T \subseteq X}\).
Źle. Na razie nie masz pojęcia, że różnica
\(\displaystyle{ f\left[ A\right] \setminus f\left[ B\right]}\) jest równa obrazowi jednego zbioru, więc nie możesz tego zakładać (to zalatuje zakładaniem tezy).
JK