Przeciwobraz obrazu zbioru

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 30 kwie 2021, o 20:39

Dziękuję za wyjaśnienia.

To jeszcze raz dowód inkluzji \(\displaystyle{ f\left[ A\right]\cap B \subseteq f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right]}\) .

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ A \subseteq X, B \subseteq Y}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]\cap B}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Wówczas dla \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in B}\) mamy \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). A więc \(\displaystyle{ x \in A\cap f^{-1}\left[ B\right]}\). Czyli z def. obrazu zbioru \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right] }\). A zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[A \right]\cap B \subseteq f\left[ A\cap f^{-1}\left[ B\right] \right]}\).

DS
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 1 maja 2021, o 14:07

To już może być.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 2 maja 2021, o 19:47

Dziękuję.

Chciałbym udowodnić następujące twierdzenie:

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją to dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}\left( X\right) }\) zachodzą wzory:
1. \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right] =\bigcup\left\{ f\left[ A\right]: A \in \mathcal{A} \right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal{A}}\). Skoro \(\displaystyle{ A \subseteq\bigcup \mathcal{A} \subseteq X}\) to korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right]}\). Skoro inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to zachodzi także dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\).

Dowód inkluzji: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Weźmy \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).

2. \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}, \mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 3 maja 2021, o 17:37

smo pisze:
2 maja 2021, o 19:47
"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją to dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}\left( X\right) }\) zachodzą wzory:
1. \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right] =\bigcup\left\{ f\left[ A\right]: A \in \mathcal{A} \right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal{A}}\). Skoro \(\displaystyle{ A \subseteq\bigcup \mathcal{A} \subseteq X}\) to korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right]}\). Skoro inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to zachodzi także dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\).

Dowód inkluzji: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ \red{A \in \mathcal {A}}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Weźmy \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Dowód pierwszego zawierania jest OK. Dowód drugiego zawierania będzie OK, gdy wykreślisz czerwony fragment.
smo pisze:
2 maja 2021, o 19:47
2. \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}, \mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Skoro \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) to \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] }\). Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\).
Trochę niezręcznie sformułowane i z jednym błędem w zapisie (zamiast "zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\)" powinno być "zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\)"), ale poza tym OK.
Nieco prościej można to zrobić analogicznie jak pierwsze zawieranie w poprzednim dowodzie, korzystając z tego, że dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{A}}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{A} \subseteq A.}\)

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 5 maja 2021, o 17:37

Dowód pierwszego zawierania jest OK. Dowód drugiego zawierania będzie OK, gdy wykreślisz czerwony fragment
.
Faktycznie: "brałem" taki zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) do którego należy element \(\displaystyle{ x}\) a nie był to dowolny zbiór \(\displaystyle{ A}\).


Nieco prościej można to zrobić analogicznie jak pierwsze zawieranie w poprzednim dowodzie, korzystając z tego, że dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathcal{A}}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{A} \subseteq A.}\)
Czyli w ten sposób?

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\). Wówczas korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że skoro \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A} \subseteq A \subseteq X}\) to \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq f\left[ A\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) to zachodzi również dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).

Chciałbym teraz udowodnić, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\},\mathcal {A} \neq \emptyset }\).
Dowód implikacji: jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}, \mathcal{A} \neq \emptyset }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolne elementy \(\displaystyle{ y,t}\) takie, że \(\displaystyle{ y \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Korzystając z równoważności, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mamy, że dla \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\): \(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to jeżeli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,t \in A}\). Z tego, że warunek ten zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy, że \(\displaystyle{ x=t \in \bigcap\mathcal {A}}\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( t\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\). Czyli zachodzi inkluzja\(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\). Ponieważ inkluzja przeciwna zachodzi niezależnie od tego czy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją czy nie to mamy równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\).

Dowód implikacji: jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), dowolny element \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) oraz, że \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją.
Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Natomiast z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\). Ponieważ zachodzi równość \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\) to wszystkie elementy \(\displaystyle{ f\left( t\right)}\) należące do zbiorów \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) są wartościami funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punktach \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) takich, że \(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Wówczas dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.

DS

Dodano po 2 dniach 1 godzinie 11 minutach 3 sekundach:
Chciałem teraz przeprowadzić dowód następujących równości:
Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją, to dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {B} \subseteq \mathcal {P}\left(Y \right)}\) zachodzi:
1. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]=\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Wówczas na mocy odpowiedniego lematu mamy, że jeżeli \(\displaystyle{ B \subseteq\bigcup \mathcal {B} \subseteq Y}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right] \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to zachodzi również dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Czyli mamy, że \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolną rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {B} \subseteq \mathcal {P}\left( Y\right)}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcup\mathcal {B}}\). Weźmy zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) taki, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). A więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Zate zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).

2. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] =\bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\},\mathcal {B} \neq \emptyset }\).
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\).
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) a wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\) , a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).

Dowód inkluzji \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należące do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\), a wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset }\).

Chciałem zapytać czy zna Pan jakiś zbiór zadań gdzie wykorzystuje się w podobny sposób własności obrazów i przeciwobrazów. Chodzi mi o zadania tego typu co dowody powyższych twierdzeń, lematów.


DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 7 maja 2021, o 22:12

smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Czyli w ten sposób?

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\). Wówczas korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że skoro \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {A} \subseteq A \subseteq X}\) to \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \subseteq f\left[ A\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) to zachodzi również dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Tak.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Dowód implikacji: jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}, \mathcal{A} \neq \emptyset }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolne elementy \(\displaystyle{ y,t}\) takie, że \(\displaystyle{ y \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\).
To nie jest dobry początek - nie powinieneś ustalać wszystkiego, co Ci w rękę wpadnie... Na początku powinieneś ustalić tylko dowolne \(\displaystyle{ y \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) (pokazujesz zawieranie, więc tylko tego potrzebujesz), a potem wyciągasz wnioski. Najpierw ten, że z def. przekroju uogólnionego dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy \(\displaystyle{ y\in f[A]}\).
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Korzystając z równoważności, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) dla każdego \(\displaystyle{ A \subseteq X}\) mamy, że dla \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\): \(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).
To też zgrzyta. Jeżeli chcesz przywoływać dowiedzione wcześniej twierdzenia, to nie jest dobrym pomysłem wyjaśnianie, co one znaczą - zamiast tego należy je w czytelny sposób użyć. A tutaj tego brak, co sprawia, że dalszy ciąg rozumowania robi wrażenie żonglerki znaczkami. Tym bardziej, że to twierdzenie jest tutaj zbędne.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to jeżeli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right)=f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x=t}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,t \in A}\). Z tego, że warunek ten zachodzi dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy, że \(\displaystyle{ x=t \in \bigcap\mathcal {A}}\). Zatem \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) =f\left( t\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\).
To mnie zupełnie nie przekonuje.

Zamiast tego wystarczyło stwierdzić, że skoro dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy \(\displaystyle{ y\in f[A]}\), to dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) istnieje \(\displaystyle{ x_A\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f(x_A)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją, więc wszystkie \(\displaystyle{ x_A}\) są sobie równe, zatem istnieje \(\displaystyle{ x\in X}\) taki, że dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy \(\displaystyle{ x=x_A}\), co wobec \(\displaystyle{ x_A\in A}\) daje \(\displaystyle{ x\in \bigcap\mathcal{A}}\). Wobec tego \(\displaystyle{ y=f(x)\in f\left[\bigcap\mathcal{A} \right] }\), co daje nam odpowiednie zawieranie.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Dowód implikacji: jeżeli dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A},\mathcal {A} \neq \emptyset}\) zachodzi równość: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją.
Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\), \(\displaystyle{ \mathcal {A} \neq \emptyset}\) dla którego zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\),
To sformułowanie nie ma sensu. Ta równość nie zależy od \(\displaystyle{ A}\).
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), dowolny element \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\)
I znów to samo, co powyżej - nie ustalamy na początku wszystkiego, co się rusza.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Natomiast z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ A\right]}\). Ponieważ zachodzi równość \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\) to wszystkie elementy \(\displaystyle{ f\left( t\right)}\) należące do zbiorów \(\displaystyle{ f\left[ A\right]}\) są wartościami funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punktach \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\) takich, że \(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Wówczas dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ A= f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] }\), a więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
I znów - ja tu nie widzę ciągu wnioskowań, który miałby prowadzić do tego wniosku, tylko żonglerkę znaczkami.

A to wynikanie tak naprawdę w ogóle nie potrzebuje dowodu, bo ten dowód zrobiłeś wcześniej, tylko tego nie zauważyłeś... Zwróć uwagę, że to wynikanie jest równoważne wynikaniu "\(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \ne\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\)". A taką rodzinę wskazałeś dowodząc analogicznego wynikania dla dwóch zbiorów...
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
1. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]=\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Wówczas na mocy odpowiedniego lematu mamy, że jeżeli \(\displaystyle{ B \subseteq\bigcup \mathcal {B} \subseteq Y}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right] \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Ponieważ inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to zachodzi również dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Czyli mamy, że \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\).
OK.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq\bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolną rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {B} \subseteq \mathcal {P}\left( Y\right)}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right]}\). Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcup\mathcal {B}}\). Weźmy zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) taki, że \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in B}\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right]}\). A więc \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ B\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\). Zate zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcup\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\).
OK.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
2. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] =\bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\},\mathcal {B} \neq \emptyset }\).
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\).
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) a wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\) , a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
OK, ale tu też wystarczyło skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {B} \subseteq B}\) dla każdego \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\).
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ \red{B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należące do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\), a wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset }\).
I znów: będzie dobrze, jak wykreślisz czerwony fragment.
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Chciałem zapytać czy zna Pan jakiś zbiór zadań gdzie wykorzystuje się w podobny sposób własności obrazów i przeciwobrazów. Chodzi mi o zadania tego typu co dowody powyższych twierdzeń, lematów.
Pojedyncze zadania może będą np. w zbiorze Marka, Onyszkiewicza, ale na większą ich liczbę raczej nie masz co liczyć.

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 8 maja 2021, o 22:17

Dziękuję.
To nie jest dobry początek - nie powinieneś ustalać wszystkiego, co Ci w rękę wpadnie... Na początku powinieneś ustalić tylko dowolne \(\displaystyle{ y \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) (pokazujesz zawieranie, więc tylko tego potrzebujesz), a potem wyciągasz wnioski. Najpierw ten, że z def. przekroju uogólnionego dla dowolnego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy \(\displaystyle{ y\in f[A]}\)
Czyli w ten sposób?

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}, \mathcal {A} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in \bigcap \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Wówczas dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy, że \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\). A więc dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) istnieje \(\displaystyle{ x_{A} \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to wszystkie elementy \(\displaystyle{ x_{A}}\) z każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) są sobie równe. Zatem istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ x= x_{A} }\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) a skoro \(\displaystyle{ x_{A} \in A}\) to wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\). Czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\).


A to wynikanie tak naprawdę w ogóle nie potrzebuje dowodu, bo ten dowód zrobiłeś wcześniej, tylko tego nie zauważyłeś... Zwróć uwagę, że to wynikanie jest równoważne wynikaniu "\(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \ne\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\)". A taką rodzinę wskazałeś dowodząc analogicznego wynikania dla dwóch zbiorów...
Teraz to widzę. Czyli inaczej mówiąc gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to nie istnieje taka niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal{A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc zachodząca równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) "świadczy" o tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.



smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
2. \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] =\bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\},\mathcal {B} \neq \emptyset }\).
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\).
Wówczas z def. przeciwobrazu zbioru mamy, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\). Zatem \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\) a wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}}\) , a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
OK, ale tu też wystarczyło skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal {B} \subseteq B}\) dla każdego \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\)
Zgadza się:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że jeżeli \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{B} \subseteq B \subseteq Y}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to zachodzi również dla \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} }\).
smo pisze:
7 maja 2021, o 18:48
Dowód inkluzji \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ \red{B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ x \in \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas \(\displaystyle{ x}\) należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) a zatem z def. przeciwobrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) należące do każdego zbioru \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}}\). Skoro tak to \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\mathcal {B}}\), a wówczas \(\displaystyle{ x \in f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right]}\). Czyli zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} \subseteq f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right], \mathcal {B} \neq \emptyset }\).
I znów: będzie dobrze, jak wykreślisz czerwony fragment.
Faktycznie: bo może istnieć taki zbiór\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y \neq f\left( x\right)}\).

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 9 maja 2021, o 02:08

smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Czyli w ten sposób?

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie injekcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ \red{A \in \mathcal {A}, \mathcal {A} \neq \emptyset}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in \bigcap \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Nie w ten sposób. Nie ustalasz dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A}\), bo to nie ma sensu.
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Wówczas dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) mamy, że \(\displaystyle{ y \in f\left[ A\right]}\). A więc dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) istnieje \(\displaystyle{ x_{A} \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\).
Takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x_A\right) }\).
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to wszystkie elementy \(\displaystyle{ x_{A}}\) z każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) są sobie równe. Zatem istnieje \(\displaystyle{ x \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ x= x_{A} }\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) a skoro \(\displaystyle{ x_{A} \in A}\) to wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\). Czyli \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\), a więc zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\).
Może być.
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Teraz to widzę. Czyli inaczej mówiąc gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to nie istnieje taka niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal{A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc zachodząca równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) "świadczy" o tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
No nie. Mylisz twierdzenie z twierdzeniem do niego przeciwnym (czyli mylisz kierunek implikacji).

Ja napisałem

"\(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ A}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal A \right] \ne \bigcap\{f[A]:A\in\mathcal A\}}\)",

a Ty na to

"Czyli inaczej mówiąc gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to nie istnieje taka niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal{A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\)."

a to błąd, bo to nie jest "inaczej mówiąc", tylko coś zupełnie innego (choć prawdziwego), niezwiązanego z tym, co ja napisałem.
Tak samo niepoprawne jest ostatnie Twoje zdanie

"A więc zachodząca równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) "świadczy" o tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją."

gdyż "a więc" wskazuje, że jest to wniosek z poprzedniego zdania, podczas gdy nie ma ono z poprzednim zdaniem nic wspólnego...
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Zgadza się:
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ B \in \mathcal {B}, \mathcal {B} \neq \emptyset}\). Wówczas korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że jeżeli \(\displaystyle{ \bigcap\mathcal{B} \subseteq B \subseteq Y}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ \bigcap\mathcal {B}\right] \subseteq f^{-1}\left[ B\right]}\). Skoro inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ B\right]}\) to zachodzi również dla \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f^{-1}\left[ B\right]:B \in \mathcal {B} \right\} }\).

OK.
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Faktycznie: bo może istnieć taki zbiór\(\displaystyle{ B \subseteq Y}\), że \(\displaystyle{ y \in B}\) oraz \(\displaystyle{ y \neq f\left( x\right)}\).
Nie z tego powodu należy wykreślić czerwony fragment - należy go wykreślić, bo nie ustalasz żadnego \(\displaystyle{ B}\).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 9 maja 2021, o 21:46

Już rozumiem o co chodzi:

"Jeżeli \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest funkcją to dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}\left( X\right) }\) zachodzą wzory:
1. \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right] =\bigcup\left\{ f\left[ A\right]: A \in \mathcal{A} \right\} }\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal{A}}\). Skoro \(\displaystyle{ A \subseteq\bigcup \mathcal{A} \subseteq X}\) to korzystając z odpowiedniego lematu mamy, że \(\displaystyle{ f\left[ A\right] \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal{A}\right]}\). Skoro inkluzja zachodzi dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to zachodzi także dla zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\).

Dowód inkluzji: \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją. Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) oraz dowolny element \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\). Wówczas z def. obrazu zbioru wynika, że istnieje \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) }\). Weźmy \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A}\). Wówczas \(\displaystyle{ y=f\left( x\right) \in f\left[ A\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). Zatem zachodzi inkluzja \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
Pierwsza inkluzja zależy od \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) i dlatego ustalamy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).
Druga inkluzja nie zależy od dowolnego \(\displaystyle{ A}\) (zależy od takiego \(\displaystyle{ A}\) do którego należy element \(\displaystyle{ x}\)-dobrze to rozumiem?), a więc nie możemy ustalić dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).

Dodano po 4 minutach 42 sekundach:
Z kolei inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\) nie zależy w ogóle od żadnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).

Dodano po 14 minutach 5 sekundach:
smo pisze:
8 maja 2021, o 22:17
Teraz to widzę. Czyli inaczej mówiąc gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to nie istnieje taka niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal{A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\). A więc zachodząca równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) "świadczy" o tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
No nie. Mylisz twierdzenie z twierdzeniem do niego przeciwnym (czyli mylisz kierunek implikacji).

Ja napisałem

"\(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją \(\displaystyle{ \Rightarrow }\) istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ A}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal A \right] \ne \bigcap\{f[A]:A\in\mathcal A\}}\)",

a Ty na to

"Czyli inaczej mówiąc gdy funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją to nie istnieje taka niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), że zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal{A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\)."

a to błąd, bo to nie jest "inaczej mówiąc", tylko coś zupełnie innego (choć prawdziwego), niezwiązanego z tym, co ja napisałem.
Tak samo niepoprawne jest ostatnie Twoje zdanie
Widzę teraz, że moje wynikanie nie jest poprawne. Wciąż jednak nie rozumiem tego co napisał Pan w poprzednim poście:
chodziło Panu o to, że implikacja "jeżeli \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją to istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A}}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \neq \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\)" jest tożsama z implikacją: "jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal{A} \right\} }\)"?
Czuję, że to drugie wynikanie nie było potrzebne ale nie umiem odpowiednio tego sformułować. Proszę mi pokazać, że już w dowodzie pierwszej implikacji: "jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]=\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) udowodniłem przeciwne wynikanie.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 9 maja 2021, o 22:37

smo pisze:
9 maja 2021, o 21:51
Pierwsza inkluzja zależy od \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) i dlatego ustalamy dowolny zbiór \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).
To nie jest dobre stwierdzenie, bo co to znaczy "inkluzja zależy od \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\)"? Gdybyś chciał pokazywać tę inkluzję odwołując się do definicji inkluzji, to nie ustalałbyś dowolnego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\), tylko dowolne \(\displaystyle{ y\in \bigcup\left\{ f\left[ A\right]: A \in \mathcal{A} \right\}}\). Jednak akurat w tym wypadku możemy skorzystać z wcześniej dowiedzionego faktu o tym, że operacja brania obrazu zbioru zachowuje zawieranie oraz z podstawowych własności sumy rodziny zbiorów (każdy element sumowanej rodziny zbiorów zawiera się w sumie oraz jeśli wszystkie elementy pewnej rodziny zbiorów zawierają się w ustalonym zbiorze, to ich suma też się w nim zawiera) i dlatego właśnie ustalamy dowolne \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Więc to nie zależy od inkluzji, tylko od wybranej metody dowodowej.
smo pisze:
9 maja 2021, o 21:51
Druga inkluzja nie zależy od dowolnego \(\displaystyle{ A}\) (zależy od takiego \(\displaystyle{ A}\) do którego należy element \(\displaystyle{ x}\)-dobrze to rozumiem?), a więc nie możemy ustalić dowolnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).
Myślę, że jednak nie do końca to rozumiesz (choć pewne rzeczy dostrzegasz). Co ustalamy nie wynika z bliżej niesprecyzowanego "zależenia", tylko z tego, na czym opieramy nasz dowód. W tym wypadku opieramy na definicji inkluzji zbiorów, co determinuje, że ustalamy dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\). Ustalanie \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\) po prostu nie ma sensu - po co mielibyśmy to robić? Musisz zrozumieć, że stwierdzenie "Ustalmy dowolne..." to nie jest magiczne zaklęcie, od którego należy zaczynać dowody. To stwierdzenie jest związane z kwantyfikatorem ogólnym (który występuje w sformułowaniu twierdzenia, w używanej definicji itp.) i używamy go, żeby się tego kwantyfikatora w pewnym sensie "pozbyć": jeżeli dowodzimy, że \(\displaystyle{ f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right] \subseteq \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\), to tak naprawdę dowodzimy, że

\(\displaystyle{ \blue{\left( \forall y\in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]\right)}y\in \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}.}\)

Wtedy stwierdzenie "Ustalamy dowolne \(\displaystyle{ y \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\)" niejako "odcina" tę niebieską część - mamy teraz w ręku coś konkretnego (\(\displaystyle{ y}\)), o którym coś wiemy (\(\displaystyle{ \in f\left[ \bigcup\mathcal {A}\right]}\)) i konkretny cel: pokazać, że \(\displaystyle{ y\in \bigcup\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\}}\).
smo pisze:
9 maja 2021, o 21:51
Z kolei inkluzja \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} \subseteq f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\) nie zależy w ogóle od żadnego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\).
Ta sama uwaga, co poprzednio - co to znaczy, że "nie zależy"?

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 10 maja 2021, o 15:07

Bardzo dziękuję. Po tym wytłumaczeniu zaczynam rozumieć o co chodzi.
Chciałbym raz jeszcze wrócić do dowodu implikacji: "jeżeli zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest injekcją."
Napisał Pan, że w zasadzie tą implikację udowodniłem w dowodzie implikacji przeciwnej czyli, że tego powyższego wynikania nie trzeba udowadniać skoro została udowodniona implikacja "jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\)."
Nie do końca to w tym momencie widzę.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 10 maja 2021, o 17:41

Po pierwsze, twierdzenie ma postać:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq P(X)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.

Po drugie, przetłumaczyłem to twierdzenie na postać równoważną, używając prawa kontrapozycji:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją, to istnieje niepusta rodzina \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq P(X)}\), dla której\(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] \ne\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\).

Po trzecie, powołując się na powyższą postać stwierdziłem, że "ten dowód zrobiłeś wcześniej, tylko tego nie zauważyłeś...", co było nieprawdą (uległem złudzeniu, że dowodziłeś twierdzenie "jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ A_1,A_2 \subseteq X}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ A_1\cap A_2\right]=f\left[ A_1\right]\cap f\left[ A_2\right],}\) to \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją"). Nie twierdziłem natomiast, że
smo pisze:
10 maja 2021, o 15:07
w zasadzie tą implikację udowodniłem w dowodzie implikacji przeciwnej czyli, że tego powyższego wynikania nie trzeba udowadniać skoro została udowodniona implikacja "jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją to zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\)."
- to już Twoja interpretacja (ale rozumiem, że nie miałeś szans zrozumieć, co mam na myśli...).

Po czwarte wreszcie, żeby nie komplikować - po drugie i po trzecie nie są potrzebne. To wynikanie można szybko udowodnić rozumując nie wprost w podobny sposób, jak tutaj: Przeciwobraz obrazu zbioru

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 11 maja 2021, o 20:01

Spróbuję.

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\), to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest injekcją. Wówczas z def. istnieją \(\displaystyle{ f\left( x\right),f\left( t\right) \in Y}\) takie, że jeżeli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to \(\displaystyle{ x \neq t}\) dla \(\displaystyle{ x,t \in X}\). Wówczas jeżeli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\). Zatem \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[A \right] \right] \setminus A \neq \emptyset}\) co wynika z odpowiedniej równoważności. Skoro zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to dla \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\): \(\displaystyle{ f\left( x\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\). Zatem z def. obrazu zbioru mamy, że \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\), a więc \(\displaystyle{ x \in A}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Ale skoro \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( t\right) }\) to także \(\displaystyle{ f\left( t\right) \in f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]}\). Zatem \(\displaystyle{ t \in A}\) dla każdego \(\displaystyle{ A \in \mathcal {A}}\). Ale wówczas skoro \(\displaystyle{ t \in f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right]}\) to \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ f\left[ A\right] \right] \setminus A =\emptyset}\). Zatem korzystając z odpowiedniej równoważności wynika, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją. Wówczas dochodzimy do sprzeczności.

DS

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27905
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4643 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: Jan Kraszewski » 11 maja 2021, o 20:18

smo pisze:
11 maja 2021, o 20:01
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) nie jest injekcją. Wówczas z def. istnieją \(\displaystyle{ f\left( x\right),f\left( t\right) \in Y}\) takie, że jeżeli \(\displaystyle{ \red{f\left( x\right) =f\left( t\right)} }\) to \(\displaystyle{ \red{x \neq t}}\) dla \(\displaystyle{ x,t \in X}\).
No nie, to niestety nie ma sensu (i nie ma nic wspólnego z tym, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją) - w szczególności czerwony warunek jest równoważny z \(\displaystyle{ x=t \Rightarrow f(x)\ne f(t)}\)...

Zapisz porządnie definicję injekcji, a potem ją poprawnie zaneguj. A potem nie kombinuj, tylko zastanów się, jak uzyskać sprzeczność z założeniem - masz wskazać konkretną rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), dla której \(\displaystyle{ f\left[\bigcap\mathcal{A} \right]\ne\bigcap\left\{ f[A]:a\in\mathcal{A}\right\} }\) (wskazówka - najprościej wziąć rodzinę dwuelementową).

JK

smo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 17 mar 2021, o 22:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 39
Podziękował: 4 razy

Re: Przeciwobraz obrazu zbioru

Post autor: smo » 13 maja 2021, o 18:15

Przyznam, że nie potrafię inaczej tego zrobić:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\). Jeżeli dla dowolnej niepustej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal {A} \subseteq \mathcal {P}\left( X\right)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\) to funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.
Załóżmy nie wprost, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest injekcją. Wówczas istnieją \(\displaystyle{ x,z \in X}\) takie, że dla \(\displaystyle{ x \neq z}\) mamy \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\). Niech \(\displaystyle{ \mathcal {A}=\left\{ A_{1}, A_{2} \right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ A_{1} =\left\{ x\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ A_{2} =\left\{ x,t\right\} }\). Wówczas \(\displaystyle{ x \in \bigcap\mathcal {A}}\), a więc w tym wypadku \(\displaystyle{ f\left( x\right)=f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] }\). Jednocześnie \(\displaystyle{ f\left[ A_{1} \right]\cap f\left[ A_{2} \right]=f\left( x\right) }\). Zatem \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} =f\left( x\right) }\), a skoro \(\displaystyle{ f\left( x\right) =f\left( z\right) }\) to \(\displaystyle{ f\left( z\right)=f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right]=\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\). Czyli zachodzi \(\displaystyle{ f\left[ \bigcap\mathcal {A}\right] =\bigcap\left\{ f\left[ A\right]:A \in \mathcal {A} \right\} }\). Wówczas dochodzimy do sprzeczności bo z odp. twierdzenia wiemy, że powyższa równość zachodzi gdy funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest injekcją.

DS

ODPOWIEDZ