Nierówność mocy zbiorów- dowód ogólny

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 749
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Nierówność mocy zbiorów- dowód ogólny

Post autor: Jakub Gurak » 28 lip 2020, o 20:31

Mam kłopot z wykazaniem, że jeśli \(\displaystyle{ \left| X\right| <\left| Y\right|, }\) to \(\displaystyle{ \left| 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^{X} \right| \le \left| 2 ^{Y}=\left\{ 0,1\right\} ^{Y} \right|. }\)

Może zacznę:

Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją różnowartościową, otrzymaną na podstawie założenia, że \(\displaystyle{ \left| X\right| \le \left| Y\right|. }\) Niech \(\displaystyle{ \alpha :X \rightarrow \left\{ 0,1\right\}, }\) definiujemy \(\displaystyle{ g\left( \alpha \right) = \beta, }\) gdzie \(\displaystyle{ \beta: Y \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\) i teraz problem jak tą funkcję \(\displaystyle{ \beta }\) zdefiniować na całym zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) :?: Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26567
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4445 razy

Re: Nierówność mocy zbiorów- dowód ogólny

Post autor: Jan Kraszewski » 28 lip 2020, o 22:11

Jakub Gurak pisze:
28 lip 2020, o 20:31
Mam kłopot z wykazaniem, że jeśli \(\displaystyle{ \left| X\right| <\left| Y\right|, }\) to \(\displaystyle{ \left| 2^X=\left\{ 0,1\right\} ^{X} \right| \le \left| 2 ^{Y}=\left\{ 0,1\right\} ^{Y} \right|. }\)
Fuj, co za zapis. Poza tym wystarczy założyć, że \(\displaystyle{ \left| X\right| \le\left| Y\right|}\) .
Jakub Gurak pisze:
28 lip 2020, o 20:31
Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie funkcją różnowartościową, otrzymaną na podstawie założenia, że \(\displaystyle{ \left| X\right| \le \left| Y\right|. }\) Niech \(\displaystyle{ \alpha :X \rightarrow \left\{ 0,1\right\}, }\) definiujemy \(\displaystyle{ g\left( \alpha \right) = \beta, }\) gdzie \(\displaystyle{ \beta: Y \rightarrow \left\{ 0,1\right\} }\) i teraz problem jak tą funkcję \(\displaystyle{ \beta }\) zdefiniować na całym zbiorze \(\displaystyle{ Y}\) :?: Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ g(\alpha)=\chi_{f\left[ \alpha^{-1}[\{1\}]\right] },}\)

gdzie \(\displaystyle{ \chi}\) to oczywiście funkcja charakterystyczna podzbioru zbioru \(\displaystyle{ Y}\).

Oczywiście można to zapisać na mnóstwo innych sposobów, ale ten zwarty wzór jest po prostu ładny.

JK

ODPOWIEDZ