Relacje miedzy x i y
Relacje miedzy x i y
Witam,
mam takie zadanie, ze \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ y}\), gdy ich iloczyn \(\displaystyle{ x\cdot y > 0}\). W relacjach sie bada trzy rzeczy, czyli zwrotnosc, symetrycznosc i przechodniosc.
Zwrotna bedzie, gdyz dwie pomnozone liczby dodatnie sa wieksze od zera i tak samo dwie liczby ujemne.
Mam pytanie odnosnie symetrycznosci i przechodniosci. W symetrycznosci \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) moga byc takie same? Wtedy bylaby symetryczna. Nastomiast nie wiem jak wyznaczyc przechodniosc tej relacji.
Prosze o pomoc
mam takie zadanie, ze \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ y}\), gdy ich iloczyn \(\displaystyle{ x\cdot y > 0}\). W relacjach sie bada trzy rzeczy, czyli zwrotnosc, symetrycznosc i przechodniosc.
Zwrotna bedzie, gdyz dwie pomnozone liczby dodatnie sa wieksze od zera i tak samo dwie liczby ujemne.
Mam pytanie odnosnie symetrycznosci i przechodniosci. W symetrycznosci \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) moga byc takie same? Wtedy bylaby symetryczna. Nastomiast nie wiem jak wyznaczyc przechodniosc tej relacji.
Prosze o pomoc
Ostatnio zmieniony 30 cze 2020, o 10:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 22234
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Nie napisałeś na jakim zbiorze kąta ta relacja, ale jeżeli na `\RR`, to nie jest zwrotna.
Do badania pozostałych musisz wziąć dowolne elementy, a nie tylko równe
Do badania pozostałych musisz wziąć dowolne elementy, a nie tylko równe
-
- Administrator
- Posty: 34343
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Brakuje informacji, na jakim zbiorze zadana jest ta relacja.
W relacjach bada się bardzo różne rzeczy. Nie pofatygowałeś się, by podać polecenie, które było związane z tą relacją, choć należy się domyślać, iż chodzi o sprawdzenie, czy jest to relacja równoważności.
Istotnie z tego korzystamy, ale argument powinien wyglądać nieco inaczej. No i oczywiście ta relacja jest zwrotna tylko na niektórych zbiorach, ale jak należy się domyślać (bo nie napisałeś tego) ta relacja jest rozważana na zbiorze \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}}\).
Czy mógłbyś wyrażać się nieco jaśniej?
Symetria tej relacji wynika natychmiast z przemienności mnożenia. Natomiast przechodniość pokazuje się wprost z definicji - ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR\setminus\{0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ xy>0}\) i \(\displaystyle{ yz>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<xy\cdot yz=xy^2 z}\) i dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy \(\displaystyle{ xz>0}\), czego należało dowieść.
JK
Re: Relacje miedzy x i y
Relacja jest na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera.
Dodano po 18 minutach 1 sekundzie:
Czyli jeszcze raz - jak wyznaczyc symetrycznosc? Znalazlem warunek, dla ktorego ta nierownosc nie jest prawdziwa np. (-2) * 2 < 0. Wychodzi na to, ze nie bedzie symetryczna.
Dodano po 18 minutach 1 sekundzie:
Czyli jeszcze raz - jak wyznaczyc symetrycznosc? Znalazlem warunek, dla ktorego ta nierownosc nie jest prawdziwa np. (-2) * 2 < 0. Wychodzi na to, ze nie bedzie symetryczna.
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Wypadałoby dodać, że \(\displaystyle{ y ^{2} \neq 0 }\), bo \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)Jan Kraszewski pisze: Natomiast przechodniość pokazuje się wprost z definicji - ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR\setminus\{0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ xy>0}\) i \(\displaystyle{ yz>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<xy\cdot yz=xy^2 z}\) i dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy \(\displaystyle{ xz>0}\), czego należało dowieść.
JK
-
- Administrator
- Posty: 34343
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Skoro założyłeś, że \(\displaystyle{ y\in\RR \setminus \{0\}}\), to dzielenie przez \(\displaystyle{ y^2}\) nie jest niczym złym - nie przesadzajmy w drobiazgowości.Jakub Gurak pisze: ↑30 cze 2020, o 12:54Wypadałoby dodać, że \(\displaystyle{ y ^{2} \neq 0 }\), bo \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)
Przecież Ci napisałem: definicja + przemienność mnożenia.
Ten "warunek" oznacza, że zupełnie nie rozumiesz definicji, którą próbujesz stosować. Zacznij może od zrozumienia, co oznacza definicja symetrii relacji.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Tak, ale to należy koniecznie zapisać. Bo przy dzieleniu nic Pan nie napisał czy mianownik nie jest zerem. A skoro Pan nie zapisał, to wygląda na to że Pan nie sprawdził czy mianownik nie jest zerem (oczywiście ja od początku wierzyłem, że Pan to sprawdził tylko nie zapisał ). A gdyby Pan nie sprawdził czy mianownik nie jest zerem, to skąd pewność że nie jest?? Tu nie chodzi o moją drobiazgowość.Jan Kraszewski pisze: ↑30 cze 2020, o 14:38 Skoro założyłeś, że \(\displaystyle{ y\in\RR \setminus \{0\}}\), to dzielenie przez \(\displaystyle{ y^2}\) nie jest niczym złym - nie przesadzajmy w drobiazgowości
Piszę Pan rozwiązanie prawdopodobnie studentowi pierwszego roku, chyba Pan chcę aby studenci sprawdzali wszystkie niezbędne rzeczy??
Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).
-
- Użytkownik
- Posty: 22234
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Nie, nie trzeba o tym pisać, bo zostało to opisane w założeniach. Jeżeli rozwiązujesz zadanie i nie pamiętasz o założeniach, to może lepiej wcale się za nie nie brać.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Nie, nie trzeba.
Dobry dowód matematyczny to taki, w którym każde przejście jest dla czytelnika oczywiste lub łatwe do sprawdzenia. Skoro mowa jest o dowodzie przechodniości relacji, co jest już domeną matematyki akademickiej, to założenie że czytelnik wie przy jakich założeniach wolno dzielić nierówność stronami i że potrafi sprawdzić prawdziwość tych założeń - jest oczywistością.
A gdzie w tym wypadku widzisz skrót myślowy?Jakub Gurak pisze: ↑3 lip 2020, o 22:46Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).
-
- Administrator
- Posty: 34343
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5204 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Z całym szacunkiem, ale przesadna drobiazgowość prowadzi do tego, że dowód staje się niestrawny, co nierzadko zdarza się Twoim dowodom.Jakub Gurak pisze: ↑3 lip 2020, o 22:46Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).
To co na pierwszym roku student matematyki powinien zrozumieć to to, że w dowodzie każde przejście powinien umieć uzasadnić oraz to, które z tych przejść trzeba niezbędnie w dowodzie wyjaśnić na piśmie. Na samym początku można mu kazać uzasadniać każde przejście (żeby wyrobił sobie pewien nawyk), później należy postarać się, by nauczył się rozpoznawać istotne przejścia.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1413
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Przyznam, że co najmniej raz sam to zaobserwowałem. Jak chciałem zrobić dowód dokladny, że z Lematu Zorna wynika twierdzenie Zermelo, to zrobiło się to bardzo zawiłe. Z drugiej strony, jeśli w danym przejściu jest wiele skrótów myślowych, to ciężko brakujący dowód "wyczarować". Ale może jestem mało zdolny. Np. to, co Dasio11 napisał w trzech linijkach w podobnym dowodzie, mi przestudiowanie tego zajęło około dwie i pół godziny, (i to z trudem, ale się udało). Zaletą w miarę dokładnych dowodów jest to, że wiadomo co trzeba przestudiować, wszystko jest kawa na ławę, nie ma kłopotu: "skąd to się wzięło"- wystarczy przestudiować, dobrze się czyta. No ale, może dla wykładowców wszystko co trzeba sprawdzić jest oczywiste, a ja może jestem mało zdolny, i tylko się nadaje do logiki matematycznej.Jan Kraszewski pisze: ale przesadna drobiazgowość prowadzi do tego, że dowód staje się niestrawny, co nierzadko zdarza się Twoim dowodom.
A z dzieleniu przez zmienną- zawsze sprawdzam czy nie jest zerem, i to zapisuje, nie jest to magiczny rytuał (jak mogą myśleć studenci) bezmyślnego pisania \(\displaystyle{ x \neq 0}\), tylko wykluczenie sytuacji, że zmienną jest zerem, gdyż w przeciwnym razie oczywiście mogłoby to prowadzić do błędów.
Zdecydowanie dużo bardziej wolę studiować dowód, który mam podany "kawa na ławę" (to też wymaga samodzielnego studiowania, aby go zrozumieć), niż kombinować aby zrozumieć "skąd to się wzięło", wtedy ciężko dowód "wyczarować" skoro nie jest podany.
-
- Użytkownik
- Posty: 22234
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3759 razy
Re: Relacje miedzy x i y
I może łatwo masz takie kłopoty. Przywiązujesz przesadną wagę do szczegółów, które na pewnym etapie nauki matematyki są oczywiste. Nie wiem skąd to wynika, ale na pewno strasznie przeszkadza przy analizie rzeczywistego problemu.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Relacje miedzy x i y
Dowody, w których szczegółowo uzasadnia się każde najdrobniejsze przejście, mają kilka zasadniczych wad:Jakub Gurak pisze: ↑4 lip 2020, o 17:27Np. to, co Dasio11 napisał w trzech linijkach w podobnym dowodzie, mi przestudiowanie tego zajęło około dwie i pół godziny, (i to z trudem, ale się udało).
[...]
Zdecydowanie dużo bardziej wolę studiować dowód, który mam podany "kawa na ławę" (to też wymaga samodzielnego studiowania, aby go zrozumieć), niż kombinować aby zrozumieć "skąd to się wzięło", wtedy ciężko dowód "wyczarować" skoro nie jest podany.
- rozrastają się do monstrualnych rozmiarów, a ich pisanie i czytanie ociera się o masochizm;
- są dla początkujących mniej rozwijające, niż gdyby mieli oni sami uzupełnić szczegóły;
- idea dowodu, czyli często jego najbardziej wartościowy element, zostaje ukryta w gąszczu mało ważnych przejść technicznych.
Dlatego wymaganie od kogokolwiek, by pisał takie właśnie dowody, uważam za bardzo zły pomysł - stoję na stanowisku, że należy raczej szukać złotego środka między szczegółowością dowodu a jego zwięzłością, tak by zmaksymalizować przejrzystość. Nie jest to oczywiście łatwe zadanie, tym bardziej że ów złoty środek mocno zależy od poziomu czytelnika, który rzadko kiedy jest dokładnie znany autorowi, nie wspominając już o sytuacji, gdy czytelników jest większa liczba.
Jeśli zaś kiedyś uznasz, że własne próby uzupełnienia szczegółów Cię nie wzbogacają, bądź też nie potrafisz tego zrobić w skończonym czasie (co jest zupełnie naturalne i zdarza się każdemu), to przecież wystarczy poprosić o wyjaśnienie.