Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 16 kwie 2020, o 03:11

\(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} } =\sum_{k \ge n' } \frac{b\left( k\right)-1 }{2 ^{k+1} } = \sum_{k \ge n'} \frac{b \left( k\right) }{2 ^{k+1} }-\sum_{k \ge n'} \frac{1}{2^{k+1}}= \sum_{k \ge n' } \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1} } -\frac{1} {2 ^{n+1} } }\), a stąd \(\displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1} } =0, }\)

I dalej \(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} } = \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right)- a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \sum_{k\ge n'} \frac{b \left( k\right) }{2 ^{k+1} }- \sum_{k \ge n'} \frac{a \left( k\right) } {2 ^{k+1} }=- \sum_{k \ge n'} \frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } }\), a stąd \(\displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} } =\frac{1}{2 ^{n+1} }. }\)

A może tak: szereg \(\displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{b\left( k\right) }{2 ^{k+1} } }\) jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, i ma sumę równą \(\displaystyle{ 0,}\) zatem ciąg \(\displaystyle{ b}\) musi być stale równy 0(od numeru \(\displaystyle{ n+1}\)).

I co dalej?, już chyba jesteśmy blisko, ale na dziś tyle. :roll:
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo » 16 kwie 2020, o 03:28

Takiej równości
\(\displaystyle{ \frac{-1}{2 ^{n+1} } =\sum_{k \ge n' } \frac{b\left( k\right)-1 }{2 ^{k+1} }}\)
nigdy nie napisałem
Napisałem

\(\displaystyle{ \sum_{k \ge n} \frac{b(k)-a(k) }{2 ^{k+1}} =\frac{1}{2^{n+1}}+\sum_{k \ge n'} \frac{b(k)-a(k) }{2 ^{k+1} } \geq \frac{1}{2^{n+1}}+\sum_{k \ge n'} \frac{b(k)-1 }{2 ^{k+1} } }\)

Dodano po 5 godzinach 40 minutach 44 sekundach:
OK. z Twoich zapisów też można wydedukować to, co trzeba. Poprawnie wywnioskowałeś, że kolejne `b` muszą być zerami. A co z `a`?

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 16 kwie 2020, o 23:35

Przypuszczam, że jest stale rowny \(\displaystyle{ 1}\). (Gdyż wtedy równość zachodzi, a zmniejszając wyrazy ciągu na \(\displaystyle{ 0}\), przypuszczam że suma szeregu się istotnie zmniejszy). To dobry pomysł :?:

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 13 maja 2020, o 00:46

Powtarzam pytanie, gdyż jednoznaczność rozwinięcia ma chyba istotne znaczenie, aby udowodnić ważne twierdzenie, że \(\displaystyle{ 2 ^{\NN} }\) jest mocy continuum. Czy to był dobry wniosek. :?: Gdy tak będzie to otrzymamy sprzeczność z tym, że takie ciągi wykluczyliśmy, co zakończy dowód nie wprost. Czy ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\)?

I takie pytanie mi się wtedy zrodziło co do szeregów: jak mam dwa szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n} ; \sum_{n \in\NN }b _{n} }\) , gdzie \(\displaystyle{ a _{n},b _{n} }\) są ciągami liczb rzeczywistych, i zawsze wyrazy jednego ciągu są nie większe od wyrazów drugiego ciągu \(\displaystyle{ a _{n} \le b _{n} }\), oraz gdy się zdarzy przynajmniej jeden wyraz ciagu silnie mniejszy od drugiego odpowiedniego wyrazu ciagu, to czy \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}< \sum_{n \in \NN} b _{n} }\) :?: Czy nierówność jest silna?
To chyba można uzasadnić, porównując kolejne sumy częściowe tych dwóch szeregów.
MOJE WYPOCINY:    
Zgadza się :?:

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26527
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jan Kraszewski » 13 maja 2020, o 02:26

Jakub Gurak pisze:
13 maja 2020, o 00:46
I takie pytanie mi się wtedy zrodziło co do szeregów: jak mam dwa szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n} ; \sum_{n \in\NN }b _{n} }\) , gdzie \(\displaystyle{ a _{n},b _{n} }\) są ciągami liczb rzeczywistych, i zawsze wyrazy jednego ciągu są nie większe od wyrazów drugiego ciągu \(\displaystyle{ a _{n} \le b _{n} }\), oraz gdy się zdarzy przynajmniej jeden wyraz ciagu silnie mniejszy od drugiego odpowiedniego wyrazu ciagu, to czy \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}< \sum_{n \in \NN} b _{n} }\) :?: Czy nierówność jest silna?
To chyba można uzasadnić, porównując kolejne sumy częściowe tych dwóch szeregów.
To ja proponuję \(\displaystyle{ a_n=1, b_n=2}\).

JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 29 cze 2020, o 23:26

Panie a4karo, powtarzam pytanie, bo chciałbym to zrozumieć, gdyż jednoznaczność rozwinięcia może mieć dalej znaczenie , powtarzam pytanie: czy ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\) :?: Proszę o odpowiedź, tym bardziej, że przykre jest to, że Pan sam zapytał
a co z \(\displaystyle{ a}\)?
Ja odpowiedziałem, i dyskusja się urwała. Przykre. :roll:

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo » 30 cze 2020, o 07:50

Jakub Gurak pisze:
13 maja 2020, o 00:46
Powtarzam pytanie, gdyż jednoznaczność rozwinięcia ma chyba istotne znaczenie, aby udowodnić ważne twierdzenie, że \(\displaystyle{ 2 ^{\NN} }\) jest mocy continuum. Czy to był dobry wniosek. :?:
Chyba nie. Zbiór punktów gdzie nie ma jednoznaczności jest przeliczalny.

Gdy tak będzie to otrzymamy sprzeczność z tym, że takie ciągi wykluczyliśmy, co zakończy dowód nie wprost. Czy ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\)?

I takie pytanie mi się wtedy zrodziło co do szeregów: jak mam dwa szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n} ; \sum_{n \in\NN }b _{n} }\) , gdzie \(\displaystyle{ a _{n},b _{n} }\) są ciągami liczb rzeczywistych, i zawsze wyrazy jednego ciągu są nie większe od wyrazów drugiego ciągu \(\displaystyle{ a _{n} \le b _{n} }\), oraz gdy się zdarzy przynajmniej jeden wyraz ciagu silnie mniejszy od drugiego odpowiedniego wyrazu ciagu, to czy \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}< \sum_{n \in \NN} b _{n} }\) :?: Czy nierówność jest silna?
To chyba można uzasadnić, porównując kolejne sumy częściowe tych dwóch szeregów.


MOJE WYPOCINY:    
Zgadza się :?:
Przy przejściu do granicy nierówność silna nie musi się zachować, więć Twoje rozumowanie jest nieprawdziwe. Ale tutaj akurat tak jest. Przy kolejnych sumach częściowy ich różnica będzie przynajmniej taka, jak różnica między dwoma nierównymi wyrazami. Myślę, że z zapisaniem takiego banalnego rozumowania nie powinieneś mieć problemu.

Szkoda mi czasu na wracanie do dyskusji na temat ciągu `a`: powiedziałem chyba wszystko i dostałeś wszystkie wskazówki.

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 2 lip 2020, o 00:04

Jeśli Pan nie przegladnał wcześniejszych potrzebnych postów z tego tematu, to ja krótko przypomnę, (głównie szkic logiczny):

Przypuszczam, że liczba \(\displaystyle{ x \in\left[ 0,1\right) }\) ma dwa różne rozwinięcia \(\displaystyle{ a,b:\NN \rightarrow \left\{ 0,1\right\}. }\) Ponieważ są różne zatem istnieje \(\displaystyle{ n}\) naturalne, takie, że \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right). }\) Niech n będzie najmniejszą liczbą naturalną dla której \(\displaystyle{ a\left( n\right) \neq b\left( n\right).}\) Wtedy jedna z tych wartości wynosi 0, a druga 1. Ze względu na symetrię przyjęliśmy, że \(\displaystyle{ a\left( n\right)=0,b\left( n\right)=1.}\) Zatem dla każdego numeru \(\displaystyle{ m<n}\) mamy \(\displaystyle{ a\left( m\right)= b\left( m\right). }\) Po dlugich obliczeniach otrzymaliśmy, że ciąg \(\displaystyle{ b}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 0}\) (od numeru \(\displaystyle{ n+1.}\)) Ponieważ uzasadniliśmy, że \(\displaystyle{ \sum_{k \ge n'} \frac{a\left( k\right) }{2 ^{k+1} }= \frac{1}{2 ^{n+1} }, }\) a stąd przypuszczam, że ciąg \(\displaystyle{ a}\) jest stale równy \(\displaystyle{ 1}\)( od numeru \(\displaystyle{ n'= n+1 }\)), dobrze :?:

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo » 2 lip 2020, o 06:53

Dobra, jeszcze raz (tym razem będę sumował od `1` a nie od zera, co uprości wzory

Niech pewna liczba `x\in(0,1)` ma dwa różne rozwinięcia dwójkowe:
\(\displaystyle{ x=\sum_{k=1}^\infty \frac{a(k)}{2^k}=\sum_{k=1}^\infty \frac{b(k)}{2^k}}\). Niech `n` będzie najmniejszą liczbą naturalną dla której
`a(n)\ne b(n)`.
Wtedy jedna z tych wartości wynosi 0, a druga 1. Ze względu na symetrię przyjęliśmy, że `b(n)=1, a(n)=0`

Wtedy mamy
\(\displaystyle{ 0=x-x=\sum_{k=1}^\infty \frac{b(k)-a(k)}{2^k}=\sum_{k<n}\frac{\red{b(k)-a(k)}}{2^k}+\frac{b(n)-a(n)}{2^n}+\sum_{k>n}\frac{b(k)-a(k)}{2^k}\\
=\frac{1}{2^n}+\sum_{k>n}\frac{b(k)-a(k)}{2^k}\blue{\geq} \frac{1}{2^n}+\sum_{k>n}\frac{-1}{2^k}=0}\)


Czerwone wyrazy są zerami na mocy założenia.

Aby te "długie obliczenia" miały sens, niebieska nierówność musi być równością, a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego `k>n` zachodzi `b(k)-a(k)=-1`. To z kolei jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy dla `k>n` zachodzi `b(k)=0` oraz `a(k)=1`.

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 2 lip 2020, o 21:48

Ok, dziękuję.

A jeszcze spytam:
jak mam dwa szeregi \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n} ; \sum_{n \in\NN }b _{n} }\) , gdzie \(\displaystyle{ a _{n},b _{n} }\) są ciągami liczb rzeczywistych, i zawsze wyrazy jednego ciągu są nie większe od wyrazów drugiego ciągu \(\displaystyle{ a _{n} \le b _{n} }\), oraz gdy się zdarzy przynajmniej jeden wyraz ciagu silnie mniejszy od drugiego odpowiedniego wyrazu ciagu, to czy \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}< \sum_{n \in \NN} b _{n} }\) :?: Czy nierówność jest silna?
Jeśli dodatkowo szereg \(\displaystyle{ \sum a _{n} }\) jest zbieżny do pewnej liczby rzeczywistej x, to czy \(\displaystyle{ x=\sum_{n\in\NN} a _{n}< \sum_{n \in \NN} b _{n} }\)??

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo » 2 lip 2020, o 22:07

Tak

A gdyby ta suma była skończona to miałbyś wątpliwości?

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 740
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 50 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: Jakub Gurak » 2 lip 2020, o 23:09

Wtedy nie, cały problem w nieskończoności. :o

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Rozwinięcie dwójkowe liczby rzeczywistej

Post autor: a4karo » 3 lip 2020, o 09:58

ALe to tak samo: dodajesz więcej, to masz więcej

ODPOWIEDZ