Suma uogólniona

[a4karo]

Sprawdź \(n=2\)

[p13]

O rety faktycznie, przedział \(\displaystyle{ \left\langle 1,2\right\rangle }\) też jest częścią wspólną...
Czy zatem odpowiedź to: \(\displaystyle{ \left\langle 0,2\right\rangle }\)?

[Jan Kraszewski]

dla n = 1 : iloczyn to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich

Ciężko mówić o przekroju jednego zbioru... Uważam, że zamiast wyznaczać częściowe przekroje lepiej przyjrzeć się kolejnym zbiorom z rodziny, którą kroisz. Ale może to kwestia gustu.

I nie "dodatnich" tylko "nieujemnych".

dla n = 2: iloczyn to: \(\displaystyle{ \left\langle 0 ,1 \right\rangle \cup \left\langle 4, \infty \right ) }\)

No to zastanów się, jak wygląda zbiór

\(\displaystyle{ \left[ 0, n \right] \cup [ n^{2} , \infty [}\)

dla \(\displaystyle{ n=2}\).

Nie wiem jak określić iloczyn uogólniony dla drugiego składnika sumy, kiedy lewa strona przedziału cały czas rośnie - rozumiem to tak, że z każdym następnym n przedział z drugiego składnika ograniczamy z lewej strony, ale nigdy nie określimy wspólnej części, gdyż jest ona w nieskończoności.

To zdanie brzmi... dziwnie. Nie wiem, co to jest "iloczyn uogólniony dla drugiego składnika sumy". Masz po prostu zbiory (to, czy są one sumami przedziałów, czy nie, jest wtórne) i masz ustalić, jak one wyglądają, a potem jaki dają przekrój.

JK

[Jan Kraszewski]

O rety faktycznie, przedział \(\displaystyle{ \left\langle 1,2\right\rangle }\) też jest częścią wspólną...

To nie brzmi dobrze...

Czy zatem odpowiedź to: \(\displaystyle{ \left\langle 0,2\right\rangle }\)?

Tak.

JK

[p13]

Dziękuję bardzo serdecznie za pomoc i przepraszam za swoje błędy w nazewnictwie, a wracając do wcześniejszego przykładu:

Przyznam szczerze, że nie wiem jak rozwiązać ten przykład. Próbowałem przenieść prawą stronę nierówności na lewo i próbować rozwiązać nierówność kwadratową (najpierw uznając r za niewiadomą, potem jeden z x-ów, ale nawet nie będę się bardziej pogrążał dodając to co mi powychodziło. Czy mógłbym liczyć na jakieś wskazówki ?

To nie jest proste zadanie, ale warto zawsze zacząć od zrozumienia, jakie zbiory sumujesz. Widzisz to?

Czy każdy z sumowanych zbiorów składa się z 2 liczb? (\(\displaystyle{ x _{1} , x _{2} }\))

[Jan Kraszewski]

Czy każdy z sumowanych zbiorów składa się z 2 liczb? (\(\displaystyle{ x _{1} , x _{2} }\))

Nie. Każdy z sumowanych zbiorów jest kołem na płaszczyźnie.

Najwyraźniej masz problem ze zrozumieniem zbiorów opisanych symbolicznie - nad tym powinieneś popracować.

JK

[p13]

Czy każdy z sumowanych zbiorów składa się z 2 liczb? (\(\displaystyle{ x _{1} , x _{2} }\))

Nie. Każdy z sumowanych zbiorów jest kołem na płaszczyźnie.

Najwyraźniej masz problem ze zrozumieniem zbiorów opisanych symbolicznie - nad tym powinieneś popracować.

JK

Wyrysowałem sobie te koła, tylko nie wiem jak opisać wykres, który ogranicza wszystkie koła?
Przypomina on trochę funkcję wykładniczą.

[Jan Kraszewski]

Według mnie suma ta ograniczona jest wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}-x.}\)

Dojście do tego to trochę dłubania. Zauważ, że wykres ten powstaje z końców tych średnic tych kół, które są równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\). A współrzędne tych końców da się policzyć. Potem trzeba tylko zauważyć jedną zależność.

JK

[Dasio11]

Zauważ, że wykres ten powstaje z końców tych średnic tych kół, które są równoległe do osi \(\displaystyle{ OX}\).

A dlaczego uważasz, że szukana suma jest obszarem ograniczonym krzywymi zakreślanymi przez końce tych średnic?

Proponuję takie rozwiązanie: omawiany zbiór składa się z takich par \(\displaystyle{ (x, y) \in \RR^2}\), że dla pewnej liczby \(\displaystyle{ r \in \RR}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x-r)^2 + (y+2r)^2 - r^2 - 1 \le 0}\). Lewa strona nierówności jest funkcją kwadratową zmiennej \(\displaystyle{ r}\) o dodatnim współczynniku wiodącym, przyjmuje ona więc wartość nieujemną wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest nieujemny. Jeśli się nie pomyliłem, daje to nierówność \(\displaystyle{ 3x^2 + 4xy \le 4}\).

[Jan Kraszewski]

A dlaczego uważasz, że szukana suma jest obszarem ograniczonym krzywymi zakreślanymi przez końce tych średnic?

To była pierwsza hipoteza, która wyglądała rozsądnie. Ale przyznaję, że nie weryfikowałem jej.

JK

[Dasio11]

W ramach nieformalnego argumentu przeciwko tej hipotezie: gdyby faktycznie szukany obszar był ograniczony trajektoriami końców wymienionych średnic, to w każdym punkcie \(\displaystyle{ p}\) na każdej z tych trajektorii styczna do tejże trajektorii musiałaby być pionowa, bo w przeciwnym razie w otoczeniu punktu \(\displaystyle{ p}\) trajektoria przecinałaby jedno z sumowanych kół - to, którego średnica ma jeden z końców w punkcie \(\displaystyle{ p}\) - a więc ta trajektoria nie mogłaby ograniczać sumy wszystkich rozważanych kół. Ale w takim razie cała trajektoria musiałaby być prostą pionową, a oczywiście nią nie jest.

[Jan Kraszewski]

O, to mi się podoba (jak ładnie zostałem obalony ).

JK

[p13]

\(\displaystyle{ 3x^2 + 4xy \le 4}\).

Czyli mogę zostawić taką odpowiedź?

[Dasio11]

Jeśli wyszło Ci tak samo, to tak - a dokładniej

\(\displaystyle{ \{ (x, y) \in \RR^2 : 3x^2 + 4xy \le 4 \}}\).