Pojedynek czarodziejów.
: 5 wrz 2018, o 11:16
Mamy trzech czarodziejów: \(\displaystyle{ A,B,C}\), każdy z nich ma inną różdżkę:
- czarodziej \(\displaystyle{ C}\) zabija swoją różdżką ze skutecznością \(\displaystyle{ 90\%}\)
- czarodziej \(\displaystyle{ B}\) zabija swoją różdżką ze skutecznością \(\displaystyle{ 80\%}\)
- czarodziej \(\displaystyle{ A}\) ma do wyboru trzy, o skuteczności kolejno \(\displaystyle{ 60\%, 80\%, 100\%}\),
Pojedynek jest turowy, czarodzieje atakują się w kolejności \(\displaystyle{ A, B, C}\) i robią to pojedynczo (nie da się ustrzelić dwóch na raz). Dodatkowo zakładamy, że czarodzieje mają kompletne informacje o różdżkach przeciwników.
Nurtujące mnie pytania: różdżkę o jakiej skuteczności powinien wybrać czarodziej \(\displaystyle{ A}\), żeby mieć największe szanse na zwycięstwo? Jaka jest optymalna strategia - atakowanie najsilniejszego? Czy da się prawdopodobieństwa wyliczyć jawnie? Wydaje się, że drzewka probabilistyczne będą się rozrastać w nieskończoność, ale być może da się jakoś je pozamykać sumując szeregi geometryczne.
Przykładowo, jeśli \(\displaystyle{ A}\) wybierze \(\displaystyle{ 100\%}\) i zabije \(\displaystyle{ C}\), to \(\displaystyle{ B}\) strzeli w \(\displaystyle{ A}\) i ma \(\displaystyle{ 80\%}\) szans na zabicie, ale jeśli mu się nie uda, to \(\displaystyle{ A}\) go zabija i wygrywa - łącznie ma \(\displaystyle{ 20\%}\) szans na zwycięstwo z tą różdżką i grając optymalnie. Widać od razu, że gdyby \(\displaystyle{ A}\) zamiast w \(\displaystyle{ C}\) strzelił w \(\displaystyle{ B}\) miałby tylko \(\displaystyle{ 10\%}\).
A co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) wybierze \(\displaystyle{ 60\%}\)? Być może jeśli strzeli w \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\), którzy są silniejsi od niego, to tamci w swoich turach będą próbować zabić się nawzajem, a \(\displaystyle{ A}\) zostawią w spokoju, dopóki oczywiście któryś z nich zabije tego drugiego. Wtedy \(\displaystyle{ A}\) w tym ostatecznym pojedynku będzie miał dość małe szanse, ale sumarycznie być może to prawdopodobieństwo będzie większe niż \(\displaystyle{ 20\%}\), które miał w pierwszym scenariuszu.
- czarodziej \(\displaystyle{ C}\) zabija swoją różdżką ze skutecznością \(\displaystyle{ 90\%}\)
- czarodziej \(\displaystyle{ B}\) zabija swoją różdżką ze skutecznością \(\displaystyle{ 80\%}\)
- czarodziej \(\displaystyle{ A}\) ma do wyboru trzy, o skuteczności kolejno \(\displaystyle{ 60\%, 80\%, 100\%}\),
Pojedynek jest turowy, czarodzieje atakują się w kolejności \(\displaystyle{ A, B, C}\) i robią to pojedynczo (nie da się ustrzelić dwóch na raz). Dodatkowo zakładamy, że czarodzieje mają kompletne informacje o różdżkach przeciwników.
Nurtujące mnie pytania: różdżkę o jakiej skuteczności powinien wybrać czarodziej \(\displaystyle{ A}\), żeby mieć największe szanse na zwycięstwo? Jaka jest optymalna strategia - atakowanie najsilniejszego? Czy da się prawdopodobieństwa wyliczyć jawnie? Wydaje się, że drzewka probabilistyczne będą się rozrastać w nieskończoność, ale być może da się jakoś je pozamykać sumując szeregi geometryczne.
Przykładowo, jeśli \(\displaystyle{ A}\) wybierze \(\displaystyle{ 100\%}\) i zabije \(\displaystyle{ C}\), to \(\displaystyle{ B}\) strzeli w \(\displaystyle{ A}\) i ma \(\displaystyle{ 80\%}\) szans na zabicie, ale jeśli mu się nie uda, to \(\displaystyle{ A}\) go zabija i wygrywa - łącznie ma \(\displaystyle{ 20\%}\) szans na zwycięstwo z tą różdżką i grając optymalnie. Widać od razu, że gdyby \(\displaystyle{ A}\) zamiast w \(\displaystyle{ C}\) strzelił w \(\displaystyle{ B}\) miałby tylko \(\displaystyle{ 10\%}\).
A co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ A}\) wybierze \(\displaystyle{ 60\%}\)? Być może jeśli strzeli w \(\displaystyle{ B}\) lub \(\displaystyle{ C}\), którzy są silniejsi od niego, to tamci w swoich turach będą próbować zabić się nawzajem, a \(\displaystyle{ A}\) zostawią w spokoju, dopóki oczywiście któryś z nich zabije tego drugiego. Wtedy \(\displaystyle{ A}\) w tym ostatecznym pojedynku będzie miał dość małe szanse, ale sumarycznie być może to prawdopodobieństwo będzie większe niż \(\displaystyle{ 20\%}\), które miał w pierwszym scenariuszu.