Powierzchnia cieczy

[Dilectus]

Cylindryczne naczynie wypełnione cieczą obraca się ze stałą prędkością kątową wokół osi symetrii. Jaka funkcja opisuje kształt powierzchni tej cieczy?

[SlotaWoj]

Ta powierzchnia jest paraboloidą obrotową.

[Janusz Tracz]

Istotnie kształt ten będzie paraboloidą obrotową nawet łatwo to wyprowadzić powołując się na podstawowe równanie mechaniki płynów

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Hydrostatyka

.

\(\displaystyle{ \rho\vec{F}=\nabla p \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{cases} \frac{ \partial p}{ \partial x}=\rho F_x \\ \frac{ \partial p}{ \partial y}=\rho F_y \\ \frac{ \partial p}{ \partial z}=\rho F_z \end{cases}}\)

lub w układzie cylindrycznym w którym nie trzeba będzie rzutować sił bezwładności działających na element cieczy. Siły te pochodzą od przyspieszeń przyspieszenia dośrodkowego i grawitacji. Jeśli naczynie wiruje z prędkością \(\displaystyle{ \omega}\) to równanie w układzie cylindrycznym przyjmie postać:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial p}{ \partial r}=\rho \underbrace{r\omega^2}_{\text{przyspieszeni dośrodkowe}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \partial p}{ \partial z}=-\rho g}\)

po scałkowaniu i nałożeniu warunków początkowych dostajemy rozkład ciśnienia w całej objętości cieczy. Interesująca powierzchnia jest izopowierzchnią ciśnienia równego cienieniu atmosferycznemu nałożenie tego warunku daje równanie szukanej powierzchni:

\(\displaystyle{ \rho g z=\frac{1}{2}\rho r^2\omega^2}\)

co po uproszczeniach i przejściu na współrzędne kartezjańskie daje:

\(\displaystyle{ z=\frac{\omega^2}{2g}(x^2+y^2)}\)

Czyli im szybciej kręci się naczynie tym paraboloida bardziej węższa a im większe przyciąganie tym paraboloida szersza.

[Dilectus]

Janusz Tracz, dziękuję. Tego problemu nie byłem już w stanie rozwiązać samodzielnie. A do głowy przyszła mi - nie wiedzieć, czemu - hiperboloida. Tak to jest ze zgredami...

[Janusz Tracz]

Proszę. Z tego co wiem to większość tego typu problemów, czyli pytań o kształt powierzchni rozwiązuje równanie równowagi płynu. Inny "podobny" przykład to naczynie z płynem które przyspiesza w jakimś kierunku wtedy kształt powierzchni to pochylona płaszczyzna (no i ciekawe może być na przykład określenie zależności kąta pochylenia od przyspieszenia). Ciekawe jest to że rurka z cieczą obracająca się wokół jakiejś prostej równoległej do osi symetrii rurki też daje podobny efekt co obrót wokół osi rurki z tą różnicą że powierzchnia jaką dostajemy to tylko wycinek paraboloidy.

[Dilectus]

Kiedyś (tak ze czterdzieści lat temu) liczyłem, że ciężka lina umocowana na dwóch końcach (np. kabel wysokiego napięcia) przyjmuje kształt cosinusa hiperbolicznego. Ale teraz już nie dałbym rady powtórzyć tych obliczeń.

[Janusz Tracz]

To naturalne że pewne rzeczy wylatują z głowy. Ważne jest by wiedzieć gdzie szukać i kojarzyć fakty. Też nie przeprowadził bym odpowiednich rachunków bez przypomnienia sobie od czego trzeba wyjść niezależnie czy mówimy o izopowierzchniach w cieczy czy o

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_%C5%82a%C5%84cuchowa

.