Pająk i mucha - łamigłówka matematyczna

[Nattasha]

W rogu piwnicy o wymiarach 2,5x2,5x2,5 siedzi pająk. W połowie najdalej od niego oddalonej
krawędzi między ścianami siedzi mucha. Pająk nie umie latać, więc chcąc złapać muchę musi
poruszać się po ścianach, podłodze, suficie lub krawędziach. Nie chce, aby mucha uciekła, więc
stara się wybrać najkrótszą drogę. Jaka jest ta najkrótsza droga od pająka do muchy?

[mortan517]

Wystarczy rozrysować to na siatce i widać od razu.

[Bierut]

Jak się rozrysuje na siatce, to widać od razu (wystarczy połączyć punkty linią prostą na płaszczyźnie), ale to nie jest rozwiązanie zadania. Należy podać jaka jest ta najkrótsza droga.

Najprościej obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale dawno nic nie rozwiązywałem, więc dla treningu rozwiążę to przy pomocy funkcji.

Szukamy najkrótszej drogi y. Na rysunku zaznaczono na zielono 3 przykładowe.

Kod: Zaznacz cały

https://www.fotosik.pl/zdjecie/0ba04a797d75e58f

AU

0ba04a797d75e58fmed.jpg (61.07 KiB) Przejrzano 743 razy

[/url]

Bok sześcianu (piwnicy): a=2,5
\(\displaystyle{ x\in(0,a)}\)

\(\displaystyle{ y_1^2=a^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ y_2^2=\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2+(a-x)^2}\)

\(\displaystyle{ y=y_1+y_2}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2+(a-x)^2}}\)

Pochodna powyższej funkcji w celu wyznaczenia ekstremum (w tym wypadku minimum):
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}+\frac{a-x}{\sqrt{ \frac{a^2}{4}+(a-x)^2}}}\)

Podstawiam a=2,5
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}+\frac{5-2x}{\sqrt{\frac{25}{16}+(\frac{5}{2}-x)^2}}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}+\frac{5-2x}{\sqrt{\frac{125}{16}-5x+x^2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}+\frac{5-2x}{\sqrt{\frac{125}{16}-5x+x^2}}=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{5}{3} \approx 1,6667}\)

Najkrótsza droga:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2,5^2+\Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^2}+\sqrt{\Bigl(\frac{2,5}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2,5-\frac{5}{3}\Bigr)^2} \approx 4,5069}\)

Sprawdzenie przy pomocy twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ y^2=a^2+(a+0,5a)^2=3,25a^2=\frac{13}{4}a^2}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{\frac{13}{4}a^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}a=\frac{\sqrt{13}}{2}\cdot 2,5=\frac{5\sqrt{13}}{4} \approx 4,5069}\)

[Rafsaf]

Poddaję w wątpliwość poprawność Twojego rozwiązania(nie chodzi o odpowiedź ).
Aby to w ten sposób optymalizować pod kątem najkrótszej drogi, musiałbyś chyba znaleźć funkcję która opisuje długość dokładnie każdej trasy, a ta Twoja z pewnością nią nie jest.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/4NEe/

Raczej nie opiszesz nią moich tras, a nie możemy przy takim rozwiązywaniu z góry założyć że jedna z moich tras nie jest tą najszybszą.

[Bierut]

Po wstawieniu powyższego posta, zauważyłem to i czekałem, aż ktoś podda moją odpowiedź w wątpliwość, żeby samemu sobie nie odpisywać. Uważam jednak, że nie do końca masz rację. Nie ma sensu rozpatrywać każdej możliwej trasy. Sensowne są jedynie trasy, w których przechodzimy przez dwie ściany sześcianu. Można to zrobić na dwa sposoby: pająk idzie po podłodze i po jednej ścianie (tę możliwość rozpatrzyłem powyżej) albo pająk idzie po dwóch ścianach (tę możliwość rozpatrzę poniżej).

Tym razem na rysunku strzałka ze zmienną x jest skierowana w górę, a zaczyna się w tym samym wierzchołku, co wcześniej. Pająk idzie po ścianie lewej oraz tej z tyłu.

\(\displaystyle{ x\in(0,a/2)}\) - całego \(\displaystyle{ a}\) nie ma sensu rozpatrywać, bo od połowy oba igreki rosną.

\(\displaystyle{ y_1^2=a^2+x^2}\)
\(\displaystyle{ y_2^2=a^2+\Bigl(\frac{a}{2}-x\Bigr)^2}\)

\(\displaystyle{ y=y_1+y_2}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{a^2+\Bigl(\frac{a}{2}-x\Bigr)^2}}\)

Pochodna powyższej funkcji:
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{\frac{a}{2}-x}{\sqrt{a^2+\Bigl(\frac{a}{2}-x\Bigr)^2}}}\)

Podstawiam a=2,5
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}-\frac{\frac{5}{4}-x}{\sqrt{\frac{25}{4}+\Bigl(\frac{5}{4}-x\Bigr)^2}}}\)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}-\frac{\frac{5}{4}-x}{\sqrt{\frac{125}{16}-\frac{5}{2}x+x^2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sqrt{\frac{25}{4}+x^2}}-\frac{\frac{5}{4}-x}{\sqrt{\frac{125}{16}-\frac{5}{2}x+x^2}}=0}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{5}{8}=0,625}\)

Najmniejsze y dla tego przypadku:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{2,5^2+0,625^2}+\sqrt{2,5^2+\Bigl(\frac{2,5}{2}-0,625\Bigr)^2}=\sqrt{\frac{425}{64}}+\sqrt{\frac{425}{64}}=\frac{5\sqrt{17}}{4} \approx 5,1539 > 4,5069}\)


EDIT:
W pierwszym wpisie w pochodnej powinien być minus zamiast plusa. Błąd jest tylko w zapisie, bo dalej liczone jest poprawnie.

[a4karo]

Jak w dowodzie widzę słowo "oczywiste" to chodzi mi na myśl dowód oczywistego twierdzenia Jordana o krzywej zamkniętej. Podobno ma 130 stron.

[Bierut]

W tym temacie ani razu nie zostało użyte to słowo. Chyba że chodziło Ci o "widać od razu" napisane przez mortan517. Też mi się to rzuciło i dlatego zająłem się tematem.

[SlotaWoj]

Mortan517 wskazał Ci, jak należy rozwiązać zadanie. Wychodzi:

• \(\displaystyle{ s_\text{min}=\sqrt{a^2+\left(\frac{3}{2}\,a\right)^{\!2}}=\frac{\sqrt{13}}{2}\,a}\)

[Bierut]

SlotaWoj, napisałem to na końcu pierwszego postu (dwie ostatnie linijki). Nazwałem to tam sprawdzeniem przy pomocy twierdzenia Pitagorasa.

[Rafsaf]

Po wstawieniu powyższego posta, zauważyłem to i czekałem, aż ktoś podda moją odpowiedź w wątpliwość, żeby samemu sobie nie odpisywać. Uważam jednak, że nie do końca masz rację. Nie ma sensu rozpatrywać każdej możliwej trasy. Sensowne są jedynie trasy, w których przechodzimy przez dwie ściany sześcianu. Można to zrobić na dwa sposoby: pająk idzie po podłodze i po jednej ścianie (tę możliwość rozpatrzyłem powyżej) albo pająk idzie po dwóch ścianach (tę możliwość rozpatrzę poniżej).

Mam rację i to do końca (albo nie mam jej wcale), każda trasa jest równie sensowna co inna, o ile prowadzi do muchy.
Myślę, że user a4karo zauważył słowo "oczywiście" np. w zdaniu:

(Oczywiście) Nie ma sensu rozpatrywać każdej możliwej trasy.

bo pasuje tam jak ulał. xd

[kropka+]

Pająki nie chodzą do much, tylko czekają na pajęczynie.

[Bierut]

każda trasa jest równie sensowna co inna, o ile prowadzi do muchy.

Nie, zgodnie z treścią zadania, interesujące są jedynie te potencjalnie najkrótsze.

Mam rację i to do końca (albo nie mam jej wcale), ...

Masz rację tylko pod tym względem, że zauważyłeś niesprawdzenie wszystkich sensownych ścieżek. Nie masz racji, że trzeba rozpatrywać każdą możliwą ścieżkę. Tak więc nie do końca masz rację.

Przykładowo najkrótszą drogę pomiędzy dwoma punktami na płaszczyźnie wyznacza odcinek, więc nie trzeba rozpatrywać tras, które składają się z krzywych znajdujących się na ścianach.

Ja w swoich dwóch postach sprawdziłem dwie z trzech możliwości przebiegu trasy (zgodnie z powyższym założeniem, że trasa ma być najkrótsza).
Pierwsza trasa: pająk idzie po podłodze i po jednej z dwóch ścian (tylna lub prawa) - rozpatrzone wszystkie możliwości.
Druga trasa: pająk idzie po dwóch ścianach (najpierw lewej lub przedniej ścianie, a następnie odpowiednio po tylnej lub prawej) - rozpatrzone wszystkie możliwości.
Trzecia trasa: pająk idzie po jednej ze ścian (lewa lub przednia), następnie po suficie, a na koniec ponownie po jednej ze ścian (tylnej lub prawej) - po zastanowieniu doszedłem do wniosku, że tutaj również można byłoby rozpisać wzory dla \(\displaystyle{ y}\) składającego się z trzech składowych, ale nie będę już tego rozwiązywał.

Nie ma więcej możliwych tras do przejścia. Powyższe stanowi już pełny dowód (po rozpatrzeniu trzeciej trasy).

Pisząc pierwszy post, nie miałem na celu tworzenia dowodu, że to na pewno ta trasa. Chciałem po prostu wyznaczyć szukaną wartość. Jedynie tego wymagała treść zadania. Można to zrobić jednym wzorem z twierdzenia Pitagorasa lub przy pomocy funkcji jak w moim pierwszym poście. Zarówno pierwszy, jak i drugi sposób nie jest dowodem, a jedynie rozwiązaniem zadania.

-- 3 marca 2018, 01:11 --

Zaciekawiła mnie ta trzecia trasa, więc ją też postanowiłem rozwiązać do kompletu. Wynik jest ciekawy.

Dla przypomnienia, w tym wariancie pająk idzie po jednej ze ścian (lewa lub przednia), następnie po suficie, a na koniec ponownie po jednej ze ścian (tylnej lub prawej). Nie uwzględniałem sytuacji, w której pająk przejdzie sufitem na przeciwną ścianę, bo zawsze będzie to dłuższa droga, niż pójście do tego samego punktu na sąsiedniej ścianie.

Kod: Zaznacz cały

https://www.fotosik.pl/zdjecie/a4ac5efb0d3e6f26

AU

a4ac5efb0d3e6f26med.jpg (25.35 KiB) Przejrzano 743 razy

[/url]

\(\displaystyle{ x\in(0,a)}\)
\(\displaystyle{ z\in(0,a)}\)

\(\displaystyle{ y_1^2=x^2+a^2}\)
\(\displaystyle{ y_2^2=(a-x)^2+(a-z)^2}\)
\(\displaystyle{ y_3^2=z^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}\)

\(\displaystyle{ y=y_1+y_2+y_3}\)
\(\displaystyle{ y=\sqrt{x^2+a^2}+\sqrt{(a-x)^2+(a-z)^2}+\sqrt{z^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2}}\)
Podstawiam a=2,5
\(\displaystyle{ y=\sqrt{x^2+2,5^2}+\sqrt{(2,5-x)^2+(2,5-z)^2}+\sqrt{z^2+\left(\frac{2,5}{2}\right)^2}}\)

Pochodne cząstkowe funkcji:
\(\displaystyle{ y'_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+2,5^2}}-\frac{2,5-x}{\sqrt{(2,5-x)^2+(2,5-z)^2}}}\)
\(\displaystyle{ y'_z=\frac{z}{\sqrt{z^2+\left(\frac{2,5}{2}\right)^2}}-\frac{2,5-z}{\sqrt{(2,5-x)^2+(2,5-z)^2}}}\)

Przyrównanie pochodnych do zera i rozwiązanie układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{x}{\sqrt{x^2+2,5^2}}-\frac{2,5-x}{\sqrt{(2,5-x)^2+(2,5-z)^2}}=0
\\
\frac{z}{\sqrt{z^2+\left(\frac{2,5}{2}\right)^2}}-\frac{2,5-z}{\sqrt{(2,5-x)^2+(2,5-z)^2}}=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{15}{8} \\ z= \frac{5}{3} \end{cases}}\)

Teraz powinienem sprawdzić, czy w wyznaczonym punkcie rzeczywiście jest ekstremum i czy jest to minimum. Analitycznie trzeba by policzyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu, potem policzyć odpowiedni wyznacznik. Ja jednak posłużę się wykresem funkcji \(\displaystyle{ y}\), na którym widać, że jest tam minimum lokalne.

Ostatecznie najkrótsza droga przy wyborze trzeciej trasy:
\(\displaystyle{ y=\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2+2,5^2}+\sqrt{\left(2,5-\frac{15}{8}\right)^2+\left(2,5-\frac{5}{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2+\left(\frac{2,5}{2}\right)^2}}\)

\(\displaystyle{ y=2,5^2=6,25}\)