Zagadka z ułamkami

adam1407 · Post autor: **adam1407** » 23 lut 2016, o 15:20

Hej, mam następujący problem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b \cdot c}+ \frac{d}{e \cdot f}+ \frac{g}{h \cdot i} =1}\)
Chodzi o rozstawienie cyfr od 1 do 9 w miejsca liter. Oczywiście nie mogą się one powtarzać. Odnoszę wrażenie, że to zadanie nie ma rozwiązania. W tabliczce mnożenia nie znajdziemy dwóch takich iloczynów, które dają ten sam wynik mnożenia i w dodatku ten wynik powstanie przez pomnożenie parami różnych liczb. Czy się mylę?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 23 lut 2016, o 15:24

Wskazówka: \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}}\). Zagadka ma rozw., przykro mi.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 23 lut 2016, o 23:25

A ja dam wskazówkę, że \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 5}\) na pewno nie będą w mianownikach.

athame · Post autor: **athame** » 22 mar 2016, o 14:04

Czy ktokolwiek z forum rozwiązał tę zagadkę?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 mar 2016, o 19:31

Premislav pisze:Wskazówka: \(\displaystyle{ 1= \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{6}}\). Zagadka ma rozw., przykro mi.

Marna wskazówka: 2/10, bo zacytowałam.

Jedyne (z dokładnością do permutacji) rozwiązanie to

\(\displaystyle{ \frac 1 {3 \cdot 6} + \frac{5}{8 \cdot 9} + \frac 7 {2 \cdot 4} = 1}\).

Premislav · Post autor: **Premislav** » 22 mar 2016, o 21:49

Jeśli dobrze rozumiem, to dwa punkty zostały przyznane za to, że taka światła osoba to zacytowała? :s
Nie no, zadanie "zrób omlet", a ja piszę "oto jajecznica", żadna wskazówka. Sorry.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 22 mar 2016, o 22:09

Czy to są punkty sherwoodzkie?

Post autor: **Jan Kraszewski** » 22 mar 2016, o 22:38

Przypominam, że to nie "Hyde park".

JK

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 23 mar 2016, o 07:55

Pytanie na które nikt nie daje odpowiedzi i masę odpowiedzi , na które nie było pytań...

athame · Post autor: **athame** » 24 mar 2016, o 08:53

Pewnie coś źle podchodziłem do sprawy, bo w moim przypadku rozwiązanie przyniósł dopiero program w C. Istnieją jakieś precyzyjne metody by to rozwiązać "na kartce"?

Dilectus · Post autor: **Dilectus** » 24 mar 2016, o 21:47

Medea 2 pisze: Jedyne (z dokładnością do permutacji) rozwiązanie to

\(\displaystyle{ \frac 1 {3 \cdot 6} + \frac{5}{8 \cdot 9} + \frac 7 {2 \cdot 4} = 1}\).

Jak na to wpadłaś?

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 25 mar 2016, o 00:11

Rozwiązania muszą wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{a}{b \cdot c}+ \frac{5}{e \cdot f}+ \frac{7}{h \cdot i} =1.}\)

Gdyby na przykład \(\displaystyle{ 5}\) było w którymś mianowniku, to po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i dodaniu ułamków mielibyśmy w liczniku coś niepodzielnego przez \(\displaystyle{ 5,}\) więc czynnik \(\displaystyle{ 5}\) w mianowniku by się nie skrócił.

Następnie chyba najłatwiej jest spojrzeć na krotności liczby \(\displaystyle{ 3.}\) Co najmniej dwa ułamki muszą mieć taką samą krotność liczby \(\displaystyle{ 3,}\) więc mamy tylko dwa przypadki do rozpatrzenia:

1. Pierwszy ułamek jest równy \(\displaystyle{ \frac{9}{3\cdot c},}\) a w którymś z dwóch pozostałych występuje czynnik \(\displaystyle{ 6}\) w mianowniku,

Edycja: Albo na odwrót: pierwszy ułamek \(\displaystyle{ \frac{9}{6\cdot c},}\) a w innym \(\displaystyle{ 3,}\) (nie zauważyłem tego wcześniej)

2. W jednym z mianowników jest iloczyn \(\displaystyle{ 3\cdot6,}\) a w innym występuje \(\displaystyle{ 9.}\)

Co dalej? Nie wiem, bo sam sprawdzałem za pomocą komputera.

-- 25 mar 2016, o 00:31 --

W przypadku 1. można sobie poradzić używając znanej nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{9}{b \cdot c}+ \frac{5}{e \cdot f}+ \frac{7}{h \cdot i}\ge3\sqrt[3]{\frac{9\cdot5\cdot7}{b\cdot c\cdot e\cdot f\cdot h\cdot i}}=3\sqrt[3]{\frac{9\cdot5\cdot7}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot6\cdot8}}>1.}\)