Przekopywanie kwadratowej działki

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 lut 2016, o 15:17

Jak każdego lata Trurl przybył z odwiedzinami do Klapaucjusza na jego letnią działkę. Działka była w kształcie kwadratu o boku równym jednej klorście. Trurl bardzo się zdziwił zobaczywszy przyjaciela przemierzającego działkę z łopatą pod pachą.
- Witaj przyjacielu! Gdzie zmierzasz z tą łopatą? - zapytał się Trurl.
- Witaj! Właśnie dowiedziałem się, że zimą szpiedzy króla Barberiusza
położyli gdzieś pod ziemią kabel mający służyć jako linia podsłuchowa.
Wiadomo, że kabel biegnie w linii prostej i gdzieś przecina moją działkę -
odparł smutny Klapaucjusz. - Teraz będę musiał przekopać wszystkie cztery graniczne boki mej działki, by go znaleźć i wykopać.
- Oj, nie będziesz musiał przekopać aż czterech boków! - odparł Trurl.
- No tak! Masz rację, przyjacielu. Wystarczy przecież przekopać trzy boki. - przyznał Klapaucjusz.
- Mój drogi Klapaucjuszu, możesz przekopać mniej niż trzy boki, czyli trzy klorsty. Zaraz ci to wszystko naszkicuję i objaśnię.
I Trurl zabrał się za objaśnianie Klapacjuszowi jak kopać, by łączna długość wykopu była jak najkrótsza.
A Twoim zdaniem jaka jest najkrótsza łączna długość wykopu, jaki musi zrobić Klapaucjusz, by mieć pewność znalezienia kabla?

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 22 lut 2016, o 21:04

\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) czegośtam ?!

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 lut 2016, o 21:04

Poproszę o rysunek.

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 22 lut 2016, o 21:06

Dowolna przekątna. ( o ile znalezienie kabla oznacza znalezienie jednego punktu tego kabla).
wydaje mi się to bardzo proste, wiec pewnie jest źle.

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 lut 2016, o 21:12

Bardzo źle: kabel może biec centymetr od przekątnej (równolegle do niej).

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 22 lut 2016, o 21:13

To dwie przekątne. akurat wychodzi mniej niż 3

-- 22 lut 2016, o 21:30 --

Albo lepiej można. Dwie wysokości opuszczone na boki prostopadłe.

-- 22 lut 2016, o 21:31 --

Lub dowolne dwa boki o wspólnym wierzchołku

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 22 lut 2016, o 22:24

Można nieco krócej niż \(\displaystyle{ 2 \sqrt 2}\).

PiotrowskiW · Post autor: **PiotrowskiW** » 22 lut 2016, o 22:36

no można. 2

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 22 lut 2016, o 23:08

IMHO \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\). Trzeba przekopać wierzchołki, a skoro tak, to później problem staje się analogiczny do znanego problemu najkrótszej sumy odległości od wierzchołków w czworokącie.

freeszpak · Post autor: **freeszpak** » 22 lut 2016, o 23:09

2 przeciwległe boki, obojętnie które.

Larsonik · Post autor: **Larsonik** » 22 lut 2016, o 23:14

Nie można 2 na pewno, według mnie będzie to \(\displaystyle{ 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} }}\), bo dwa boki + pół przekątnej

freeszpak · Post autor: **freeszpak** » 22 lut 2016, o 23:16

rzeczywiście, bez sensu, przecież przewód może biec równolegle do tych dwóch boków Dwa boki plus pół przekątnej już jest ok, pytanie czy można jeszcze krócej?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 23 lut 2016, o 07:33

Tak, można zejść poniżej \(\displaystyle{ 2.7}\).

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 25 lut 2016, o 17:46

Fakt \(\displaystyle{ \sqrt{2}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\), ale czy można dowieść, że to rozwiązanie jest optymalne?

Medea 2 · Post autor: **Medea 2** » 25 lut 2016, o 20:11

A czy mogłabyś pokazać swoje rozwiązanie? Dotychczas znałam jedynie wariant, gdzie trzeba było przekopać

\(\displaystyle{ \frac{3+2 \sqrt 5}{2 \sqrt 2}}\).