Dane jest wyrażenie \(\displaystyle{ *3^{5}*3^{4} *3^{3} *3^{2} *3^{1} *3^{0}}\). Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) wykonują kolejno ruchy- najpierw gracz \(\displaystyle{ A}\) - tj. zamieniają któryś znak * na + lub -. Gracze mają za zadanie zmienić wyrażenie na takie które będzie podzielne przez 7, co kończy grę.
Kto wygra tę grę ?
Gra z podzielnością
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11378
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
-
Michalinho
- Użytkownik
- Posty: 495
- Rejestracja: 17 wrz 2013, o 16:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Chełm
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 104 razy
Gra z podzielnością
Szybko sprawdzamy, że:
\(\displaystyle{ 3^5\equiv 5 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^4\equiv 4 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^3\equiv 6 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^2\equiv 2 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^1\equiv 3 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^0\equiv 1 \ (\text{mod 7})}\)
Wystarczy więc, że jeśli gracz \(\displaystyle{ A}\) postawi znak przed \(\displaystyle{ k}\)-tą potęgą, to \(\displaystyle{ B}\) postawi taki sam znak przed \(\displaystyle{ mod(k-3; 6)}\)-tą potęgą, aby wygrać.
\(\displaystyle{ 3^5\equiv 5 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^4\equiv 4 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^3\equiv 6 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^2\equiv 2 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^1\equiv 3 \ (\text{mod 7})}\)
\(\displaystyle{ 3^0\equiv 1 \ (\text{mod 7})}\)
Wystarczy więc, że jeśli gracz \(\displaystyle{ A}\) postawi znak przed \(\displaystyle{ k}\)-tą potęgą, to \(\displaystyle{ B}\) postawi taki sam znak przed \(\displaystyle{ mod(k-3; 6)}\)-tą potęgą, aby wygrać.