Zapis liczby przy użyciu innych liczb

[Dasio11]

Ok, to dowodzimy.

Przy użyciu jednej jedynki da się uzyskać tylko liczbę \(\displaystyle{ 1.}\) Czyli zbiór liczb możliwych do uzyskania z jednej jedynki to \(\displaystyle{ A_1 = \{ 1 \}.}\)

Dwie jedynki: można albo napisać \(\displaystyle{ 11,}\) albo \(\displaystyle{ 1 \oplus 1,}\) gdzie \(\displaystyle{ \oplus}\) jest jednym z działań: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie. Stąd \(\displaystyle{ A_2 = \{ 11, 2, 0, 1 \} = \{ 0, 1, 2, 11 \}.}\)

Trzy jedynki: można napisać \(\displaystyle{ 111}\) albo \(\displaystyle{ \boxed{\phantom{11}} \oplus \boxed{ \phantom{11}},}\) gdzie operandami są albo liczby złożone z jednej i dwóch jedynek, albo z dwóch i jednej. Stąd dostajemy

\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
A_3 = & \{ 111 \} \cup \{ 1+0, 1+1, 1+2, 1+11, 1-0, 1-1, 1-2, 1-11, \\
& 1 \cdot 0, 1 \cdot 1, 1 \cdot 2, 1 \cdot 11, 1/1, 1/2, 1/11, 1^0, 1^1, 1^2, 1^{11} \} \\
& \cup \: \{ 0-1, 1-1, 2-1, 11-1 \} \\
= & \{ 111 \} \cup \{ 1, 2, 3, 12, 0, -1, -10, 11, 1/2, 1/11 \} \cup \{ -1, 0, 1, 10 \} \\[2ex]
= & \{ -10, -1, 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 111, 1/2, 1/11 \}.
\end{array}}\)

(ze względu na przemienność dodawania i mnożenia pominęliśmy wykonywanie tych działań w odwrotnej kolejności; pominięte jest też dzielenie przez \(\displaystyle{ 1}\) i podnoszenie do potęgi \(\displaystyle{ 1}\), bo zawsze daje ten sam wynik, co mnożenie przez \(\displaystyle{ 1}\))

Cztery jedynki: \(\displaystyle{ 1111}\) lub \(\displaystyle{ \boxed{\phantom{11}} \oplus \boxed{\phantom{11}},}\) gdzie operandy są skonstruowane przy użyciu liczb jedynek: \(\displaystyle{ (1, 3), (2, 2)}\) lub \(\displaystyle{ (3, 1).}\) Stąd, pomijając podnoszenie \(\displaystyle{ 1}\) do wszelkich potęg, dzielenie przez \(\displaystyle{ 1,}\) podnoszenie do potęgi \(\displaystyle{ 1}\) oraz wykonywanie działań przemiennych w odwrotnej kolejności, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
A_4 = \{ 1111 \} & \\
\cup \: \{ & 1+(-10), 1+(-1), 1+0, 1+1, 1+2, 1+3, 1+10, 1+11, 1+12, 1+111, 1+1/2, 1+1/11, \\
& 1-(-10), 1-(-1), 1-0, 1-1, 1-2, 1-3, 1-10, 1-11, 1-12, 1-111, 1-1/2, 1-1/11, \\
& 1 \cdot (-10), 1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 1 \cdot 1, 1 \cdot 2, 1 \cdot 3, 1 \cdot 10, 1 \cdot 11, 1 \cdot 12, 1 \cdot 111, 1 \cdot 1/2, 1 \cdot 1/11, \\
& 1/(-10), 1/(-1), 1/1, 1/2, 1/3, 1/10, 1/11, 1/12, 1/111, 1/(1/2), 1/(1/11) \}
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
\cup \: \{ & 0+0, 0+1, 0+2, 0+11, 0-0, 0-1, 0-2, 0-11, 0 \cdot 0, 0 \cdot 1, 0 \cdot 2, 0 \cdot 11, 0/1, 0/2, 0/11, 0^1, 0^2, 0^{11}, \\
& 1+0, 1+1, 1+2, 1+11, 1-0, 1-1, 1-2, 1-11, 1 \cdot 0, 1 \cdot 1, 1 \cdot 2, 1 \cdot 11, 1/1, 1/2, 1/11, 1^0, 1^1, 1^2, 1^{11}, \\
& 2+0, 2+1, 2+2, 2+11, 2-0, 2-1, 2-2, 2-11, 2 \cdot 0, 2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 11, 2/1, 2/2, 2/11, 2^0, 2^1, 2^2, 2^{11}, \\
& 11+0, 11+1, 11+2, 11+11, 11-0, 11-1, 11-2, 11-11, \\
& 11 \cdot 0, 11 \cdot 1, 11 \cdot 2, 11 \cdot 11, 11/1, 11/2, 11/11, 11^{0}, 11^1, 11^2, 11^{11} \} \\
\cup \{ & -10-1, -1-1, 0-1, 1-1, 2-1, 3-1, 10-1, 11-1, 12-1, 111-1, 1/2-1, 1/11-1 \}
\end{array}}\)

\(\displaystyle{ \begin{array}{rl}
= \{ & -1/10, -10/11, -1/2, -110, -11, -10, -9, -2, -1, \\
& 0, 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 110, 111, 112, 121, 1111, 2^{11}, 11^{11}, \\
& 1/2, 3/2, 11/2, 1/3, 1/10, 1/11, 2/11, 10/11, 12/11, 1/12, 1/111 \}
\end{array}}\)


Jak śmiesz zamieszczać zadania, których nie da się rozwiązać!

[MaBed98]

Wiesz, podejrzewałem to, kiedy moja mama, matematyczka, nie była w stanie tego zrobić... Ale to było zadanie podane mojej siostrze przez nauczycielkę, musiałem spytać tutaj żeby być na 100% pewnym ;_;
A za ten dowód to propsy tak poza tym
Temat do zamknięcia, dzięki wszystkim za pomoc

[Gouranga]

Jak się dowiesz od siostry o co chodziło to napisz, aż jestem ciekaw co tej kobiecie chodziło po głowie a czego nie potrafiła wyrazić sensownym zdaniem.

[MaBed98]

Jutro będzie się dopytywać, bo jak dziś była i mówiła że nie umie, to powiedziała, że niech jeszcze pomyśli xD
Zapewne po prostu się pomyliła i nie miała na tyle chęci, żeby się upewnić, że się da zrobić to zadanie. I w sumie co do niej to się zgadzam z Twoimi poprzednimi wypowiedziami Gouranga

[pesel]

W związku z regułami zawartymi w:

szczególnie w odniesieniu do decimal point oraz percent, proponuję dwa wiekopomne rozwiązania:

\(\displaystyle{ 100=11/11 \%}\)

oraz

\(\displaystyle{ 100=11/.11}\)