Matematyka.pl

Witam,
Mam zagadkę z pająkiem:)

Pewien pająk lubi wędrować nocą po szopie po
jej ścianach, podłodze i suficie od jednego
narożnika szopy do drugiego, znajdującego się
po przeciwnej stronie. Szopa ma wymiary a ×
b × c.
Jaką ścieżką powinien pójść pająk, żeby dotrzeć
do przeciwległego narożnika przemierzając
najkrótszy dystans? Jaka jest długość tej
najkrótszej ścieżki?

tak wygląda szopa:

Narysuj siatkę prostopadłościanu na płaszczyźnie i połącz punkty początkowy i końcowy naszej drogi linią prostą.

ale przeciez musi chodzic po scianie, suficie lub podlodze.

No to z narysowanej siatki złóż z powrotem prostopadłościan. To rozwiązanie jest najprostsze z możliwych , bo bazuje na tym, że na płaszczyźnie z dróg łączących dwa punkty najkrótszą jest prostoliniowa.

Najkrótsza droga pająka, to
\(\displaystyle{ min \left( s\right) = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + 2bc }}\)

..., na którą zapewne nigdy nie wpadnie.

Tomek_Fizyk-10 pisze: ↑22 lis 2011, o 20:06 Najkrótsza droga pająka, to
\(\displaystyle{ min \left( s\right) = \sqrt{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} + 2bc }}\)

..., na którą zapewne nigdy nie wpadnie.

Mam prośbę o napisanie coś więcej o rozwiązaniu.
Z góry dziękuję.

Pająk wędruje tylko po dwóch ścianach przecinając tylko jedną krawędź. Wystarczy, że narysujesz siatkę tych dwóch ścian, a drogą pająka będzie prosta między wierzchołkami START i META. Możliwe są trzy drogi:
a) po przekątnej prostokąta o wymiarach: \(\displaystyle{ (b+c) \times a}\), której długość to :
\(\displaystyle{ s_a= \sqrt{(b+c)^2+a^2}= \sqrt{a^2+b^2+c^2+2bc} }\)
b) po przekątnej prostokąta o wymiarach: \(\displaystyle{ (a+c) \times b}\), której długość to :
\(\displaystyle{ s_b= \sqrt{(a+c)^2+b^2}= \sqrt{a^2+b^2+c^2+2ac} }\)
c) po przekątnej prostokąta o wymiarach: \(\displaystyle{ (a+b) \times c}\), której długość to :
\(\displaystyle{ s_c= \sqrt{(a+b)^2+c^2}= \sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab} }\)
Najkrótszą drogą jest najkrótsza z powyższych.

Rozwiązanie podane przez użytkownika Tomek_Fizyk-10 zakłada, że \(\displaystyle{ a}\) jest najdłuższą (lub nie mniejszą od każdej z pozostałych dwóch) krawędzią prostopadłościanu .

Dziękuję