Istenienie funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej (tw. Baire'a)

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów ze Zbiór-ki.
bartek118
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5974
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 15 razy
Pomógł: 1251 razy

Istenienie funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej (tw. Baire'a)

Post autor: bartek118 »

Poniżej przedstawimy jedno z zastosowań twierdzenia Baire'a.

Twierdzenie. Istnieje funkcja ciągła rzeczywista określona na \(\displaystyle{ [0,1]}\), która w żadnym punkcie nie ma pochodnej skończonej (na końcach przedziału rozpatrujemy pochodne jednostronne).

Dowód.

Niech \(\displaystyle{ \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right)}\) oznacza przestrzeń funkcji ciągłych na odcinku \(\displaystyle{ [0,1]}\) z metryką jednostajną. Jak wiemy, jest to przestrzeń zupełna, w której metryka jest równoważna zbieżności jednostajnej funkcji.
Oznaczmy:
\(\displaystyle{ N_k = \left\{ f \in \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right) \ : \ \exists_{x \in [0,1]} \ \forall_{h \neq 0} \ \left| \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\right| \le k \right\},}\)
dla \(\displaystyle{ k \geq 1}\), przy czym \(\displaystyle{ h}\) jest takie, aby \(\displaystyle{ x+h \in [0,1]}\).
Pokażemy, że zbiory te są domknięte. Istotnie - niech \(\displaystyle{ f_n}\) będzie ciągiem funkcji ze zbioru \(\displaystyle{ N_k}\), przy ustalonym \(\displaystyle{ k}\), zbieżnym jednostajnie do pewnej funkcji \(\displaystyle{ f \in \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right)}\). Niech \(\displaystyle{ x_n}\) będzie punktem, dla którego funkcja \(\displaystyle{ f_n}\) spełnia warunek w definicji zbioru \(\displaystyle{ N_k}\). Wtedy nietrudno sprawdzić, że jeśli \(\displaystyle{ x_0}\) jest punktem skupienia ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\), to funkcja graniczna \(\displaystyle{ f}\) spełnia definicję zbioru \(\displaystyle{ N_k}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\), dowodzi to, że \(\displaystyle{ f \in N_k}\). Zatem \(\displaystyle{ N_k}\) są domknięte.

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie rodziną funkcji ciągłych, rzeczywistych, odcinkami liniowych. Wykresami tych funkcji są łamane. Zbiór ten jest gęsty w \(\displaystyle{ \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right)}\). Ponadto każdą taką funkcję, można aproksymować z dowolną dokładnością funkcjami spoza zbioru \(\displaystyle{ N_k}\). Powyższe rozważania doprowadzają do wniosku, że \(\displaystyle{ \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right) = \mbox{cl}\left( A\right) \subseteq \mbox{cl}\left( N_{k}'\right)}\), co w szczególności implikuje, że \(\displaystyle{ \mbox{int}\left( N_k\right) = \emptyset}\). Dowodzi to, że zbiory \(\displaystyle{ N_k}\) są brzegowe.

Zatem każdy ze zbiorów \(\displaystyle{ N_k}\) jest domknięty i brzegowy, zatem nigdziegęsty. Zatem z twierdzenia Baire'a otrzymujemy, że \(\displaystyle{ N = \bigcup_{k=1}^{\infty} N_k \neq \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right)}\).

Dla zakończenia dowodu wystarczy zauważyć, że jeżeli funkcja w pewnym punkcie ma skończoną pochodną, to należy do pewnego zbioru \(\displaystyle{ N_k}\), a jak pokazaliśmy wyżej zbiory \(\displaystyle{ N_k}\) nie wypełniają całej przestrzeni \(\displaystyle{ \mathfrak{C}\left( \left[ 0,1\right], \mathbb{R} \right)}\).
ODPOWIEDZ