Matematyka.pl

Oznaczamy: \(\displaystyle{ e_{0} = (1,1,1,1,\ldots), \ e_{1} = (1,0,0,0,\ldots),\ e_{2} = (0,1,0,0,\ldots), \ e_{3} =(0,0,1,0,\ldots),\ \ldots}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3,\ldots}\)

Wykazać , że:
1. układ wektorów \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,\ldots}\) stanowi bazę Schaudera przestrzeni \(\displaystyle{ l^{p}}\)

2. układ wektorów \(\displaystyle{ e_1,e_2,e_3,\ldots}\) stanowi bazę Schaudera przestrzeni \(\displaystyle{ c_{0}}\)

3. układ \(\displaystyle{ e_0,e_1,e_2,e_3,\ldots}\) stanowi bazę Schaudera przestrzeni \(\displaystyle{ c}\)

1., 2. Jeśli \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, \ldots)\in \ell^{p}}\) bądź \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, \ldots)\in c_{0}}\), to
\(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, \ldots) = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}e_{n}}\)
a takie przedstawienie jest jednoznaczne.

3. Jeśli \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, \ldots )\in c}\) to:
\(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2}, \ldots) = \sum_{n = 0}^{\infty}b_{n}e_{n}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ b_{0} = \lim_{n\to\infty}a_{n}\\
b_{i} = a_{i} - \lim_{n\to\infty}a_{n}, \ i > 0}\)
i takie przedstawienie też jest jednoznaczne.

hej Ja mam jeszcze pytanie do tego co Ty pisałeś, że jeśli (k1, k2, ...) należy do przestrzeni lp ...to ten wzór z definicji bazy Schaudera, ale czy to już jest wykazanie tego o co chodziło??????

To jest trochę inaczej niż napisałaś.
Z tego, że coś jest bazą Schaudera przestrzeni wynika, że dla każdego elementu przestrzeni istnieje dokładnie jeden ciąg jakichś skalarów taki, że szereg elementów z bazy przemnożonych przez te skalary jest zbieżny do tego elementu.
Natomiast ja wskazałem dla każdego elementu przestrzeni takie skalary i aby mieć pełen dowód pozostaje po prostu udowodnić, że wypisane przeze mnie równości rzeczywiście zachodzą i te przedstawienia są jednoznaczne, co jest jest proste, a wymaga trochę pisania:)

Dla 1. zauważmy, że
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} - (a_{1}, a_{2},\ldots)\right\| = \|(\underbrace{0,\ldots,0}_{n},a_{n+1}, \ldots)\| = \sum_{i = n+1}^{\infty}|a_{i}|^{p}\to 0}\)
gdyż jest to reszta szeregu zbieżnego, bo \(\displaystyle{ (a_{1},a_{2},\ldots)\in \ell^{p}}\).
Z drugiej strony jeśli \(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{n}c_{i}e_{i} = (a_{1}, a_{2},\ldots)}\) to
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i = 1}^{n}c_{i}e_{i} - (a_{1}, a_{2},\ldots)\right\| = \sum_{i = 0}^{n}|a_{i} - c_{i}|^{p} + \sum_{i = n+1}^{\infty}|a_{i}|^{p} \to 0,}\)
stąd \(\displaystyle{ a_{i} = c_{i}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i \in \mathbb{N}}\)


Dla 2. mamy
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} - (a_{1}, a_{2},\ldots)\right\| = \|(\underbrace{0,\ldots,0}_{n},a_{n+1}, \ldots)\| = \sup_{i > n}|a_{i}| \to 0}\)
bo ciąg \(\displaystyle{ a_{n}\to 0}\) (jesteśmy w \(\displaystyle{ c_{0}}\)).
i podobnie jak w 1. takie przedstawienie jest jednoznaczne.

Dla 3. jest:
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i = 1}^{n}b_{i}e_{i} - (a_{1}, a_{2},\ldots)\right\| = \|(\underbrace{0,\ldots, 0}_{n}, a_{n+1} - \lim_{m\to \infty}a_{m}, a_{n+2} - \lim_{m\to \infty}a_{m},\ldots)\| =\\
= \sup_{i > n}|a_{i} - \lim_{m\to\infty}a_{m}|\to 0}\)
jednoznaczność pokazujemy podobnie jak wcześniej.

Czyli wystarczy to co teraz mi napisałeś bez tego pierwszego postu przepraszam,ale dla mnie to zadanie jest nadal niezrozumiałe? jak byś mógł tak słownie mi jeszcze napisać łopatologicznie bo muszę zrozumieć to zadanie

To polega na dobrym zrozumieniu definicji. Jeśli jesteśmy w przestrzeni Banacha i mamy w niej jakiś ciąg wektorów, to jest on bazą Schaudera, gdy dla dowolnego wektora z naszej przestrzeni możemy dobrać taki ciąg skalarów, że ten wektor będzie sumą szeregu o wyrazie ogólnym będącym iloczynem kolejnego elementu bazy przez kolejny skalar.
Teraz co się dzieje w naszym zadaniu: mamy ciąg wektorów i mamy pokazać, że jest on bazą Schaudera. Robimy to korzystając z definicji tejże. Dla dowolnego ustalonego wektora wskazujemy zależny od niego ciąg skalarów i pokazujemy, że odpowiedni szereg faktycznie zbiega do tego ustalonego wektora. Dalej pokazujemy jednoznaczność takiego przedstawienia.

Skąd wzięły się akurat takie skalary? Można było ich nie wskazywać na samym początku, tylko zacząć od rozpisania tego co przy sprawdzaniu jednoznaczności:
chcemy pokazać, że przy ustalonym wektorze (u nas \(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2},\ldots)}\)) znajdziemy jakieś skalary \(\displaystyle{ \{c_{n}\}_{n = 1}^{\infty},}\) że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}e_{n}}\) będzie zbieżny do naszego wektora. Rozpisujemy teraz z definicji co to znaczy, że ten szereg będzie do tego wektora zbieżny i na podstawie tego możemy odgadnąć jakie muszą być wartości skalarów \(\displaystyle{ c_{n}.}\)

hej ja nadal do tego zadania bo napisałeś, że "aby mieć pełen dowód pozostaje po prostu udowodnić, że wypisane przeze mnie równości rzeczywiście zachodzą i te przedstawienia są jednoznaczne, co jest jest proste, a wymaga trochę pisania:)" czy to jest całe zadanie czy tam jeszcze czegos brakuje. Ja własnie dobrze nie rozumiem tej definicji i staram się zrozumieć skąd Ci sie wzieły te nierówności ale nadal nie wiem

proszę pomóż mi zrozumiec to zadanie wiem że juz Cię meczę tymi pytaniami ale naprawde chce to zrozumiec

O jakie nierówności pytasz?

pytam o równości, które napisałeś do podpunktu 1, 2, 3 z czego one wynikają po kolei. Np do pierwszego podpunktu skąd się wzieły te zera (0,0,0... i dalej....

Z tego, że
\(\displaystyle{ e_{i} = (0, \ldots, 0,\underbrace{1}_{i}, 0, \ldots)}\)
wynika, że
\(\displaystyle{ a_{i}e_{i} = (0, \ldots, 0,\underbrace{a_{i}}_{i}, 0, \ldots)}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} = (a_{1},\ldots, a_{n}, 0, \ldots)}\)
a stąd:
\(\displaystyle{ (a_{1}, a_{2},\ldots) - \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} = (\underbrace{0, \ldots, 0}_{n}, a_{n+1},\ldots)}\)
więc
\(\displaystyle{ \left\|\sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i} - (a_{1}, a_{2},\ldots)\right\| = \left\|(a_{1}, a_{2},\ldots) - \sum_{i = 1}^{n}a_{i}e_{i}\right\| = \|(\underbrace{0, \ldots, 0}_{n}, a_{n+1},\ldots)\|}\)

Kolejna równość wynika z definicji normy w \(\displaystyle{ \ell^{p}.}\)

W ten sam sposób otrzymuję pozostałe równości.

dziękuję za pomoc:)