[teoria miary] funkcja addtywna, miara
: 6 gru 2008, o 20:46
zad. 1
a) \(\displaystyle{ (X, \mathfrak{m}, \mu )}\) to \(\displaystyle{ \forall_{ A,B\in \mathfrak{m}} \mu (A \cup B)+ \mu (A \cap B)= \mu (A)+ \mu (B)}\)
b) \(\displaystyle{ A, B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0}\), to \(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu (A \setminus B)= \mu (A)}\)
zad. 2
a) \(\displaystyle{ \forall_{A \subseteq \mathbb{N}} \mu (A) = \begin{cases} 0 &A\text{ jest skonczony}\\ +\infty &A \text{ jest nieskonczony}\end{cases}}\)
Wykazac, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest addytywną funkcją zbioru, ale nie jest miarą na \(\displaystyle{ P( \mathbb{N})}\)
b)Wykaza, że jeśli \(\displaystyle{ A_1, ..., A_k \in \mathfrak{m}}\) i są rozłączne, to \(\displaystyle{ \mu (A_1 \cup ... \cup A_k)= \mu (A_1) \cup ... \cup \mu (A_k)}\)
zad. 3
\(\displaystyle{ \mathbb{R} , P( \mathbb{R} ), A \subseteq \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \mu (A)= \begin{cases} 0 &A \text{ przeliczalny} \\ \infty &A \text{ nieprzeliczalny} \end{cases}}\)
Wykazac, ze \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą
[ Dodano: 9 Grudnia 2008, 21:22 ]
zadanie 1 b)
rozbiłabym to na dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ A,B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0 \Rightarrow \mu (A \cup B)= \mu (A)}\)
2) \(\displaystyle{ A,B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0 \Rightarrow \mu (A \setminus B)= \mu (A)}\)
Ad. 1 ust. \(\displaystyle{ A,B\in \mathfrak{m} \ \ , \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B)= A \cup (B \setminus A)}\) to są zbiory mierzalne
\(\displaystyle{ A, B \setminus A \in \mathfrak{m}}\) rozłączne
\(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu ( A \cup (B \setminus A)) \stackrel{addytywna \ funkcja \ zbioru}{=} \mu (A)+ \mu(B \setminus A) \stackrel{B \setminus A \subseteq B}{=} \mu (A)+0= \mu (A)}\)
Ad. 2 ust. \(\displaystyle{ A,B\in \mathfrak{m}, \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ A=(A \setminus B) \cup (A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ A \setminus B , A \cap B \in \mathfrak{m}}\) rozłaczne
zatem, \(\displaystyle{ \mu (A)= \mu((A \setminus B) \cup (A \cap B))= \mu (A \setminus B)+ \mu (A \cap B) \stackrel{A \cap B \subseteq B}{=} \mu (A \setminus B)+0=\mu(A \setminus B)}\)
A jak zrobić zadanie 2 i 3
a) \(\displaystyle{ (X, \mathfrak{m}, \mu )}\) to \(\displaystyle{ \forall_{ A,B\in \mathfrak{m}} \mu (A \cup B)+ \mu (A \cap B)= \mu (A)+ \mu (B)}\)
b) \(\displaystyle{ A, B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0}\), to \(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu (A \setminus B)= \mu (A)}\)
zad. 2
a) \(\displaystyle{ \forall_{A \subseteq \mathbb{N}} \mu (A) = \begin{cases} 0 &A\text{ jest skonczony}\\ +\infty &A \text{ jest nieskonczony}\end{cases}}\)
Wykazac, że \(\displaystyle{ \mu}\) jest addytywną funkcją zbioru, ale nie jest miarą na \(\displaystyle{ P( \mathbb{N})}\)
b)Wykaza, że jeśli \(\displaystyle{ A_1, ..., A_k \in \mathfrak{m}}\) i są rozłączne, to \(\displaystyle{ \mu (A_1 \cup ... \cup A_k)= \mu (A_1) \cup ... \cup \mu (A_k)}\)
zad. 3
\(\displaystyle{ \mathbb{R} , P( \mathbb{R} ), A \subseteq \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \mu (A)= \begin{cases} 0 &A \text{ przeliczalny} \\ \infty &A \text{ nieprzeliczalny} \end{cases}}\)
Wykazac, ze \(\displaystyle{ \mu}\) jest miarą
[ Dodano: 9 Grudnia 2008, 21:22 ]
zadanie 1 b)
rozbiłabym to na dwa przypadki:
1) \(\displaystyle{ A,B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0 \Rightarrow \mu (A \cup B)= \mu (A)}\)
2) \(\displaystyle{ A,B \in \mathfrak{m}}\) i \(\displaystyle{ \mu (B)=0 \Rightarrow \mu (A \setminus B)= \mu (A)}\)
Ad. 1 ust. \(\displaystyle{ A,B\in \mathfrak{m} \ \ , \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ (A \cup B)= A \cup (B \setminus A)}\) to są zbiory mierzalne
\(\displaystyle{ A, B \setminus A \in \mathfrak{m}}\) rozłączne
\(\displaystyle{ \mu (A \cup B)= \mu ( A \cup (B \setminus A)) \stackrel{addytywna \ funkcja \ zbioru}{=} \mu (A)+ \mu(B \setminus A) \stackrel{B \setminus A \subseteq B}{=} \mu (A)+0= \mu (A)}\)
Ad. 2 ust. \(\displaystyle{ A,B\in \mathfrak{m}, \ \mu (B)=0}\)
\(\displaystyle{ A=(A \setminus B) \cup (A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ A \setminus B , A \cap B \in \mathfrak{m}}\) rozłaczne
zatem, \(\displaystyle{ \mu (A)= \mu((A \setminus B) \cup (A \cap B))= \mu (A \setminus B)+ \mu (A \cap B) \stackrel{A \cap B \subseteq B}{=} \mu (A \setminus B)+0=\mu(A \setminus B)}\)
A jak zrobić zadanie 2 i 3