Zestaw nr IV- całki , pola , etc

[mol_ksiazkowy]

1. Rozwiaz równanie rózniczkowe: a) \(\displaystyle{ (e^y+ye^x+3)dx + (2-xe^y -e^x)dy=0}\)
b) \(\displaystyle{ y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=\frac{e^x}{\sqrt{1-x^2}}}\)
2. a) Oblicz pole powierzchni bryły otrzymanej przez obrót wokól osi OX krzywej
\(\displaystyle{ x^2+y^2=2y}\) dla \(\displaystyle{ y\in [-1, 1]}\)
b) \(\displaystyle{ x(t)= t^2, \ y(t) =t -\frac{1}{3}t^3}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq t \leq \sqrt{3}}\)
3.Oblicz objetosc bryły ograniczonej przez
\(\displaystyle{ z=6- x^2-y^2}\) , \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\)
4. Policz całke
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{5-4\sin(x)+3\cos(x)}}\)
5. W całce \(\displaystyle{ \int_0 ^1 dy \int_{y^2} ^{\sqrt[4]{y}} f(x,y) dx}\) zmien kolejnosc całkowania
i podaj obszar po ktorym całkujemy
6 . Wylicz całke nieoznaczona
a) \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{x \ln(x) \ln (\ln(x))}}\)
b) \(\displaystyle{ \int \frac{x^3+1}{x^3-x^2} dx}\)

[meninio]

6. b

\(\displaystyle{ \int \frac{x^3-x^2+x^2+1}{x^3-x^2}dx=x+\int \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}dx=x+\int \left(- \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x-1}\right)dx = x-\ln|x|+\frac{1}{x}+\ln |x-1|=x+\frac{1}{x}+\ln \left|\frac{x-1}{x} \right| +C}\)

6. a - dwa razy to samo podstawienie najpierw za \(\displaystyle{ t=\ln x}\) a potem \(\displaystyle{ y=\ln t}\) i dostajemy rozwiązanie, że:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\ln \left|\ln \left(\ln x \right) \right|+C}\)

[Wasilewski]

6 a)
\(\displaystyle{ t = ln(lnx) \\
dt = \frac{dx}{xlnx} \\
\int \frac{dt}{t} = ln|ln(lnx)| + C}\)

[soku11]

5.
\(\displaystyle{ \int\limits_0^1\mbox{d}y \int\limits_{y^2}^{\sqrt[4]{y}} f(x,y) \mbox{d}x=
\int\limits_0^1\mbox{d}x \int\limits_{x^4}^{\sqrt{x}} f(x,y) \mbox{d}y\\
D:\;\;\{\; (x,y):\; 0\le x\le 1\;\wedge\; x^4\le y\le \sqrt{x}\;\}\\}\)

[ Dodano: 4 Października 2008, 14:08 ]
4. Raczej tylko uniwersalne podstawinie:
\(\displaystyle{ \int \frac{\mbox{d}x}{5-4\sin x+3\cos x}=
\left\{\begin{array}{c}
t =\tan \frac{x}{2}\\
\mbox{d}x = \frac{2}{1+t^2}\mbox{d}t\\
\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\\
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{array}\right\}=
\int \frac{ \frac{2}{1+t^2} }{ 5-\frac{4(2t)}{1+t^2}+\frac{3(1-t^2)}{1+t^2} } \mbox{d}t=
2\int \frac{\mbox{d}t}{ 5(1+t^2)-8t+3(1-t^2) }=
2\int \frac{\mbox{d}t}{ 5+5t^2-8t+3-3t^2}=
2\int \frac{\mbox{d}t}{ 2t^2-8t+8}=
\int \frac{\mbox{d}t}{t^2-4t+4}=
\int \frac{\mbox{d}t}{(t-2)^2}\left\{ \begin{array}{c}
t-2=s\\
\mbox{d}t=\mbox{d}s
\end{array}\right\}=
\int \frac{\mbox{d}s}{s^2}=
int s^{-2}\mbox{d}s=
\frac{s^{-1}}{-1}+C=
\frac{-1}{s}+C=
\frac{-1}{t-2}+C=
\frac{-1}{\tan\frac{x}{2}-2}+C}\)

[ Dodano: 4 Października 2008, 15:41 ]
3.
\(\displaystyle{ z=6- x^2-y^2,\;\; z=\sqrt{x^2+y^2}\\
6-x^2-y^2=\sqrt{x^2+y^2}\\
\sqrt{x^2+y^2}=t\;\; t>0\\
6-t^2=t\\
t^2+t-6=0\\
(t+3)(t-2)=0\\
t=2\\
x^2+y^2=4\\
S=(0,0)\;\; r=2\\
|V|=\iiint\limits_{\Omega}^{} \mbox{d}y\mbox{d}z\\
\Omega:\;\begin{cases} x^2+y^2\leqslant 4\\
\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 6-x^2-y^2\end{cases}\\}\)

No i wystarczy wprowadzic zwykle wspolrzedne np. walcowe by obliczyc ta calke, tj:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x=\rho\cos\varphi\\
y=\rho\sin\varphi\\
z=z\\
|J|=\rho
\end{cases}\\
\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\rho^2}=\rho\\
6-(x^2+y^2)=6-\rho^2\\
\varphi\in[0;2\pi]\\
\rho\in[0;2]\\
|V|=\int\limits_{0}^{2\pi}\mbox{d}\varphi \int\limits_{0}^{2}\rho\mbox{d}\rho \int\limits_{\rho}^{6-\rho^2}\mbox{d}z=\ldots}\)

Calke pozostawiam do policzenia Pozdrawiam.