mocny zestaw (2)

[mol_ksiazkowy]

1. Obliczyc cosinus kąta między gradientami funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}, \ g(x,y)=x-3y+\sqrt{3xy}}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(3,4).}\)

2. Oblicz pole figury ograniczonej krzywą
\(\displaystyle{ x(t)=2 \cos(t), \ y(t)=5\sin(t), \ t \in [0, 2\pi ].}\)

3. Oblicz
\(\displaystyle{ \iint_{D} xy \ dx dy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=\{ (x,y) : x^2+y^2 \leq 9 \}}\)


4. Oblicz pochodna kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^y+y^x}\) w punkcie \(\displaystyle{ P(1,2)}\) w kierunku
wektora \(\displaystyle{ \vec u= [\frac{-3}{5}, \frac{-4}{5}].}\)

5. Zmienic kolejnosc całkowania w całce iterowanej
\(\displaystyle{ \int_{0}^2 dx \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} f(x,y) dy}\)

6. Za pomoca całki podwojnej obliczyc pole obszaru ograniczonego krzywymi
\(\displaystyle{ y=3^x, \ y=3^{-x}, \ y=3.}\)

7. Oblicz objętość obszaru
\(\displaystyle{ V= \{(x,y,x) : \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 6-x^2-y^2 \}.}\)

8. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
\(\displaystyle{ z=\frac{1}{x^2+y^2+1}.}\)

9. Rozwiaż równanie
\(\displaystyle{ xy' +y= y^2\ln(x)}\)

[meninio]

6.
\(\displaystyle{ S=2 \int \int dxdy= 2 \int_{0}^{1}dx \int_{3^x}^{3}dy=2 \int_{0}^{1}(3-3^x)dx= 2 \left[ 3x-\frac{3^x}{\ln 3} \right]_0^1= \\ \\ =2 \left[3-\frac{3}{\ln 3} -0+ \frac{1}{\ln 3} \right]=2 \left(3-\frac{2}{\ln 3} \right)}\)

[micholak]

Zrobie sobie te w ktorych nie trzeba liczyc

3 Prosta zamiana zmiennych
u=-x
v=y
ktorej jakobian jest jeden nie zmienia obszaru, stad
\(\displaystyle{ \iint_{D} xy dx dy = -\iint_{D} uv du dv}\)
stad wniosek ze szukana calka wynosi 0

8
Po wyliczeniu pochodnych czastkowych z po x i po y i przyrownaniu ich do zera, otrzymamy ze jedynym punktem podejrzanym o ekstremum jest \(\displaystyle{ (0,0)}\)
zauwazmy ze w tym punkcie funkcja przyjmuje wartosc 1 a dla dowolnych x, y różnych od zera wartość mniejsza od 1, stąd w \(\displaystyle{ (0,0)}\) jest maksimum

[meninio]

2.
Jest to równanie elipsy, o środku w punkcie (0,0). Więc rozpatrzymy obszar tylko : \(\displaystyle{ t \in \left(0;\frac{\pi}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ S=-4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left| y(t) \right| x'(t)dt=-4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \sin(t)\cdot(-2 \cos(t))dt =20 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin(t) \cos(t)dt=20 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(2t)dt=20 \left[-\frac{1}{2} \cos(2t) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\\=-10 \left(\cos \pi - \cos 0 \right) =20}\)

[Szymon_3]

1. Obliczyc cosinus kąta między gradientami funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}, \ g(x,y)=x-3y+\sqrt{3xy}}\)
w punkcie P(3,4)

\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial{g}}{\partial{x}}=1-3y+\frac{3y}{2\sqrt{3xy}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial{g}}{\partial{y}}=x-3+\frac{3x}{2\sqrt{3xy}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} (3,4)=\frac{3}{5} }\), \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y} (3,4)=\frac{4}{5} }\), \(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial x} (3,4)=-10 }\), \(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial y} (3,4)=\frac{3}{4} }\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha =\frac{\nabla f(x_0,y_0) \circ \nabla g(x_0,y_0)}{|\nabla f(x_0,y_0)||\nabla g(x_0,y_0)|}=}\)
\(\displaystyle{ \frac{[\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0),\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)] \circ [\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(x_0,y_0), \frac{\partial{g}}{\partial{y}}(x_0,y_0)]}{\sqrt{\left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0)\right)^2+\left(\frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)\right)^2} \sqrt{\left(\frac{\partial{g}}{\partial{x}}(x_0,y_0)\right)^2+\left(\frac{\partial{g}}{\partial{y}}(x_0,y_0)\right)^2}}}\)

4. Oblicz pochodna kierunkową funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=x^y+y^x}\) w punkcie P(1,2) w kierunku
wektora \(\displaystyle{ \vec u= [\frac{-3}{5}, \frac{-4}{5}]}\)

Pochodna kierunkowa to iloczyn skalarny gradientu i wektora.

\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{x}}=yx^{y-1}+y^x\ln y}\)
\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{y}}=x^{y} \ln x+xy^{x-1}}\)

\(\displaystyle{ \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right| _{(1,2)}=2+2\ln2}\)
\(\displaystyle{ \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right| _{(1,2)}=1}\)


\(\displaystyle{ \frac{\partial{f}}{\partial{\vec{u}}}=\nabla f(x_0,y_0) \circ \vec{u}=[\frac{\partial{f}}{\partial{x}}(x_0,y_0), \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(x_0,y_0)] \circ \vec{u}=[2+2\ln2,1] \circ [-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}]=-2-\frac{6\ln2}{5}}\)

[przemk20]

9.
\(\displaystyle{ x y'+ y = (xy)' = y^2 \ln x, \ \ u=xy \\
\frac{du}{dx} = u^2 \frac{\ln x}{x^2} \\
t \frac{du}{u^2} = t \frac{\ln x}{x^2} dx \\
-\frac{1}{u} = - \frac{ \ln x +1}{x} - C \\
y = \frac{1}{\ln x+1 + Cx} \\}\)
8
\(\displaystyle{ x = r \sin t, \ \ y=r \cos t \\
z = \frac{1}{r^2+1}}\)
z czego juz latwo mamy ze ekstremum funkcji jest dla \(\displaystyle{ r=0 \ x,y=0 \\}\)