mocny zestaw, cz1

[mol_ksiazkowy]

1. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni
\(\displaystyle{ z=\arctg^2(xy)}\) w punkcie \(\displaystyle{ P_0(1, \sqrt{3}, \frac{\pi^2}{36})}\)
2. Rozwiaz równanie:
a) \(\displaystyle{ y' +ycos(x) =\sin(x)\cos(x)}\), dla \(\displaystyle{ y(0)=1}\),
b \(\displaystyle{ xdy + ydx + \frac{xdy -ydx}{x^2+y^2}=0}\)
c) \(\displaystyle{ y'' +2y' +y=xe^{-x}}\)
3, Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ y=\ln(x), \ y=\ln^2(x), \ 1 \leq x \leq e}\)
4. Oblicz objetosc obszaru w przestrzeni
\(\displaystyle{ V= \{ (x,y,z) : 0 \leq z \leq \frac{1}{x^2+y^2}, \ 1 \leq x^2+y^2 \leq 4 \}}\)


1. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni \(\displaystyle{ z=\frac{1}{xy}}\) oraz równoległej
do płaszszyzny \(\displaystyle{ \pi: x+y+z=3}\)
2. rozwiaz równanie:
a) \(\displaystyle{ xy' +y=y^2 ln(x)}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{2x}{y^3}dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4}dy =0}\)
c) \(\displaystyle{ y'' +y=2\sin(x)\sin(2x)}\)
3, Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi:
\(\displaystyle{ y=e^{-x}, \ y=e^x, \ x=1, \ x=2}\)
4. Oblicz
\(\displaystyle{ \iint_{D} \sqrt{x^2+y^2} dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest obszarem dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)=\arcsin(1-x^2-y^2)}\)


1. Znajdz punkty w których gradient funkcji \(\displaystyle{ \ln(x+\frac{1}{y})}\) jest równy \(\displaystyle{ [1, -\frac{16}{9}].}\)
2, rozwiaz równanie:
a) \(\displaystyle{ (x^2+y^2)dy + 2xydx =0}\)
b) \(\displaystyle{ xy' -y=\ln(x) =0}\)
c) \(\displaystyle{ y'' -3y' +2y =\cos(e^{-x})}\)
3. Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi
\(\displaystyle{ y^2=4x, \ x^2=4y}\)
4. Oblicz
\(\displaystyle{ \iint_{D} \frac{y dxdy}{(1+x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}} dxdy}\)
gdzie \(\displaystyle{ D= \{(x,y): x,y \in [0,1] \}}\).
Powodzenia

[Wasilewski]

2)
a)
\(\displaystyle{ y' e^{\sin x} + y e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x} \sin x \cos x \\
\int \left(y e^{\sin x}\right) dx = \int e^{\sin x} \sin x \cos x dx = (\sin x - 1) e^{\sin x} + C \\
y = \sin x - 1 + Ce^{-\sin x} \\
y(0) = -1 + C = 1 \\
y = \sin x - 1 + 2 e^{-\sin x}}\)
4)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1} \frac{y dy}{(1+ x^2 +y^2)^{\frac{3}{2}}} = \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2+x^2}}\right) dx = ln \left( \frac{\sqrt{2}+ 2}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \right)}\)
4)
\(\displaystyle{ -1 \leqslant 1- (x^2 +y^2) \leqslant 1 \\
0 \leqslant x^2 + y^2 \leqslant 2 \\
0 \leqslant \sqrt{x^2 + y^2} \leqslant \sqrt{2}}\)
I całkujemy we współrzędnych biegunowych:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} d \varphi \int_{0}^{\sqrt{2}} r^{2} dr = \frac{4\sqrt{2} \pi}{3}}\)
1)
\(\displaystyle{ \nabla f = [\frac{1}{x+\frac{1}{y}}, \frac{-\frac{1}{y^2}}{x + \frac{1}{y}}] \\
\begin{cases} \frac{1}{x + \frac{1}{y}} = 1 \\ \frac{-\frac{1}{y^2}}{x +\frac{1}{y}} = -\frac{16}{9} \end{cases} \\
-\frac{1}{y^2} = -\frac{16}{9} \\
y = \frac{3}{4} \\
x = 1 \frac{3}{4} \\
(x,y) = (\frac{7}{4}, -\frac{3}{4})\lor(x,y) = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})}\)