Transformata-dowód własności

[ariadna]

Pokazać, że transformata Fouriera \(\displaystyle{ \hat{f}(\omega)}\) funkcji rzeczywistej symetrycznej \(\displaystyle{ f(t)=f(-t)}\) jest rzeczywista.

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) cos\omega t dt - i\int_{-\infty}^{\infty} f(t) sin \omega t dt}\)
Zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ f(-t) sin (-\omega t) = - f(t) sin\omega t}\)
czyli funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Przedział jest symetryczny względem zera, zatem ta całka znika i zostaje nam tylko część rzeczywista.