Transformata-dowód własności

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Transformata-dowód własności

Post autor: ariadna » 16 cze 2008, o 16:27

Pokazać, że transformata Fouriera \(\displaystyle{ \hat{f}(\omega)}\) funkcji rzeczywistej symetrycznej \(\displaystyle{ f(t)=f(-t)}\) jest rzeczywista.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

Transformata-dowód własności

Post autor: Wasilewski » 16 cze 2008, o 16:42

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) cos\omega t dt - i\int_{-\infty}^{\infty} f(t) sin \omega t dt}\)
Zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ f(-t) sin (-\omega t) = - f(t) sin\omega t}\)
czyli funkcja podcałkowa jest nieparzysta. Przedział jest symetryczny względem zera, zatem ta całka znika i zostaje nam tylko część rzeczywista.

ODPOWIEDZ