Witam
Zadanie polega na policzeniu residuów danej funkcji \(\displaystyle{ f(z)= \frac{1}{z^{4}-iz^{3} }}\)
proszę o pomoc w rozwiązaniu.
pozdrawiam.
Oblicz residua funkcji.
-
brandonmarlon
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 16 sty 2008, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z nienacka
- Podziękował: 36 razy
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Oblicz residua funkcji.
\(\displaystyle{ f(z) = \frac{1}{z^3 ( z- \imath)}}\)
Funkcja f ma biegun 3-krotny w punkcie z=0 i jednokrotny w z=i. Mamy więc odpowiednie wartości residuów w tych punktach:
\(\displaystyle{ \mbox{res}_{z_1 = 0} f = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \frac{\mbox d^2}{\mbox d z^2} \left( (z-0)^3 f(z) \right) = \frac{1}{2} \lim_{z \to 0} \frac{2}{(z - \imath)^3} = \frac{1}{(- \imath)^3} = - \imath}\)
\(\displaystyle{ \mbox{res}_{z_2 = \imath} f = \lim_{z \to \imath} \frac{z - \imath}{z^3 (z - \imath)} = \frac{1}{\imath^3} = \imath}\)
Funkcja f ma biegun 3-krotny w punkcie z=0 i jednokrotny w z=i. Mamy więc odpowiednie wartości residuów w tych punktach:
\(\displaystyle{ \mbox{res}_{z_1 = 0} f = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \frac{\mbox d^2}{\mbox d z^2} \left( (z-0)^3 f(z) \right) = \frac{1}{2} \lim_{z \to 0} \frac{2}{(z - \imath)^3} = \frac{1}{(- \imath)^3} = - \imath}\)
\(\displaystyle{ \mbox{res}_{z_2 = \imath} f = \lim_{z \to \imath} \frac{z - \imath}{z^3 (z - \imath)} = \frac{1}{\imath^3} = \imath}\)