wyznaczyc transformate

[arikadiusz]

Wyznaczyc transformate fouriera funkcji \(\displaystyle{ h(t)=f*g(t)}\) dla podanych funkcji f i g. Na jej podstawie podac postac funkcji \(\displaystyle{ h(t)}\).

\(\displaystyle{ f(t)=g(t)= \frac{1}{1+t^2}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ H ( \omega ) = \frac{1}{2 \pi} \left( \int\limits_{-\infty }^{+\infty } \frac{e^{- \imath \omega t}}{1+t^2} \, \mbox{d}t \right)^2 = \frac{1}{2 \pi} \pi^2 e^{- 2 |\omega|} = \frac{\pi e^{-2 | \omega |}}{2} \stackrel{\mathcal{F}}{\iff} h(t) = \frac{\sqrt{2 \pi}}{4 + t^2}}\)

[arikadiusz]

czy to jest to samo jak policzyc calke \(\displaystyle{ 2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+t^2} cos(\omega t)dt}\), i jezeli tak to skad Ty wzieles te swoja?

[luka52]

Tak. Patrz całka \(\displaystyle{ I_1}\) z https://matematyka.pl/66984.htm#264045 .
Oczywiście można też inaczej - z pomocą analizy zespolonej (jest nawet prościej).