Splot funkcji

[arikadiusz]

Wyznaczyc z def. splot h(t)=f*g(t) dla podanych funkcji. Wyznaczyc transformate splotu.

\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} 4, 0\leqslant t \leqslant 1 \\0, reszta\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(t) = e^{-|t|}}\)

prosze niech ktos wytlumaczy w jaki sposob sie przedzialy calkowania dobiera przy poszczegolnych przedzialach t tzn. dla
\(\displaystyle{ t \geqslant 1 , t \leqslant 0 , 0< t<1}\)

aha i w odpowiedziach dla liczenia przedzialu 0< t <1 pojawia sie suma takich calek(mniejsza co w srodku) jak moze ktos to niech to tez mi wytlumaczy bo nie rozumie \(\displaystyle{ \int_{0}^{t} + \int_{t}^{1}}\)

[luka52]

\(\displaystyle{ \varphi = f * g = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) g (x - t ) \, \mbox{d}t = 4 \int\limits_0^1 e^{- | x - t|} \, \mbox{d}t}\)
Dalej należy rozpisać dwa przypadki - z def. ||:
\(\displaystyle{ 4 \int\limits_0^1 e^{- | x - t|} \, \mbox{d}t = 4 \int\limits_0^x e^{-(x-t)} \, \mbox{d}t + 4 \int\limits_x^1 e^{x-t}\, \mbox{d}t}\)
I ostatecznie:
\(\displaystyle{ \varphi (x) = \boxed{ 4 \left( 2 - e^{x-1} - e^{-x} \right) }}\)

A transformata:
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{ \varphi (t) \} = \mathcal{L} \{ f(t) \} \mathcal{L} \{ g(t) \} = \boxed{ \frac{4 - 4e^{-s}}{s(s+1)}}}\)
(liczona z def., o ile się nie pomyliłem ;])

[arikadiusz]

mozesz mi podac ta definicje:P?

[luka52]

mozesz mi podac ta definicje:P?

Wartości bezwzględnej czy transformaty Laplace'a (obie dostępne na )

[arikadiusz]

chodzi mi o rozbicie \(\displaystyle{ \int_{0}^{x} + \int_{x}^{1}}\). Skad tam to x wzieles? to jest dowolna liczba po prostu?, czyli jak bym policzyl \(\displaystyle{ \int_{0}^{1/2} + \int_{1/2}^{1}}\) to tez jest dobrze?

[luka52]

Gdy np. jest |x-t| = x-t, czyli gdy \(\displaystyle{ x-t \geq 0 \iff t \leq x}\), to liczymy całkę w granicach \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^x}\), co sprowadza się do \(\displaystyle{ \int_0^x}\) (nawet gdy x<0 - nie jest to problem). I analogicznie drugi przypadek.

[arikadiusz]

Wybacz moja ignorancje ale jak \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^x}\) zamienia sie na \(\displaystyle{ \int_{0}^x}\) ? to ma cos wspolnego z przedzialem dla ktorego pierwsza funkcja nie jest zerowa?

[luka52]

to ma cos wspolnego z przedzialem dla ktorego pierwsza funkcja nie jest zerowa?

No tak. Całka oznaczona z zera to zero.

[arikadiusz]

mozesz mi obliczyc ten przyklad prosze:


\(\displaystyle{ f(t) = \begin{cases} 1 & |t| \leqslant 1 \\0 &|t|>1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ g(t) = f(t)}\)

[qudi]

dołączam sie do prosby, tylko chcialbym zeby ktos wytlumaczyl jeszcze raz jak dobera sie te przedzialy calki ?

[luka52]

\(\displaystyle{ \varphi (x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot f(x - t) \, \mbox{d}t = \begin{cases}\begin{array}{ccl} \int_{x-1}^1 \, \mbox{d}t & \mbox{dla} & x \in [0,2] \\ \int_{-1}^{x+1} \,\mbox{d}t & \mbox{dla} & x \in [-2,0] \\ 0 & \mbox{dla} & x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \end{array}\end{cases} =\\ = \boxed{ \begin{cases}\begin{array}{lcl} 2 - |x| & \mbox{dla} & x \in [-2,2] \\ 0 & \mbox{dla} & x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \end{array}\end{cases}}}\)

Warto sobie jakoś graficznie przedstawić kiedy iloczyn f(t)f(x-t) = 1 a kiedy = 0; bez tego to raczej ciężko jest rozwiązać ten przykład (no chyba, że ktoś ma wprawę ;]).

[arikadiusz]

Odswiezam watek poniewaz dalej nic z tego nie rozumie , juz po kole... a na egzamin to trzeba umiec , prosze na tym wykresie

Obrazek wygasł

powiedz mi jak ty wynalazles te przedzialy dla calek \(\displaystyle{ \int_{x-1}^{1}dt}\) i dla przedzialu x[0,2] ?? to samo do tej drugiej calki \(\displaystyle{ \int_{-1}^{1}dt}\) dl x[-2,0] ? jak ja mam rozumiec wogole ten splot, napisales

Warto sobie jakoś graficznie przedstawić kiedy iloczyn f(t)f(x-t) = 1 a kiedy = 0; bez tego to raczej ciężko jest rozwiązać ten przykład (no chyba, że ktoś ma wprawę ;]).

ale jak dla mnie to sa 2 identyczne funkcjie, czyli dalej to samo

blagam pomocy

[luka52]

ale jak dla mnie to sa 2 identyczne funkcjie, czyli dalej to samo

Bez wątpienia w iloczynie f(t)f(x-t) mamy do czynienia z li tylko jedną funkcją - f. Ale z różnymi argumentami...

[arikadiusz]

ok. ale co z tymi przedzialami dla calek i przedzialami x? jak dostales [0,2] i skad to: x-1, x+1?

[luka52]

Ponieważ dla wartości parametru \(\displaystyle{ x\in [0,2]}\) iloczyn f(t)f(x-t) jest równy jeden dla \(\displaystyle{ t \in [x-1,1]}\) a dla pozostałych t się zeruje.