Ciągłość funkcji
Ciągłość funkcji
Niech f(x,y)= \(\displaystyle{ x^{y}}\) dla x>0 i y>0. Pokaz , że nie mozna określić funkcji w (0,0) tak , aby była ona ciągła w tym punkcie.
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Ciągłość funkcji
wystarczy pokazać że granica funkcji f przy (x,y) dążącym do (0,0) nie istnieje
Zatem wezmy ciągi
jeden ciąg to \(\displaystyle{ (\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\)
i wtedy granica \(\displaystyle{ f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\sqrt[n]{\frac{1}{n}}}\) wynosi 1
drugi ciąg to \(\displaystyle{ (\frac{1}{n!},\frac{1}{n})}\)
i wtedy granica \(\displaystyle{ f(\frac{1}{n!},\frac{1}{n})=\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}}\) wynosi 0
zatem granica nie istnieje
Zatem wezmy ciągi
jeden ciąg to \(\displaystyle{ (\frac{1}{n},\frac{1}{n})}\)
i wtedy granica \(\displaystyle{ f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=\sqrt[n]{\frac{1}{n}}}\) wynosi 1
drugi ciąg to \(\displaystyle{ (\frac{1}{n!},\frac{1}{n})}\)
i wtedy granica \(\displaystyle{ f(\frac{1}{n!},\frac{1}{n})=\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}}\) wynosi 0
zatem granica nie istnieje