Zbieżność normowa

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
rose93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 5 lip 2012, o 20:17
Płeć: Kobieta
Podziękował: 3 razy

Zbieżność normowa

Post autor: rose93 »

Załóżmy, że \(\displaystyle{
x^*_{n} \xrightarrow {\sigma(\ell_{1},c_{0})} x^*,}\)
gdzie \(\displaystyle{ \sigma(X^*,X)}\) oznacza słabą\(\displaystyle{ ^*}\) topologię na \(\displaystyle{ X^* }\) indukowaną przez \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \|x^*_{n}\|=\|x^*\|.}\) Czy z tego faktu możemy wywnioskować, że \(\displaystyle{ \lim_{ n \to\infty } \|x_{n}^{*}-x^{*}\|=0? }\)
Oczywiście implikacja w drugą stronę jest oczywista.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Re: Zbieżność normowa

Post autor: Spektralny »

Przestrzenie o tej własności nazywane są przestrzeniami z

Kod: Zaznacz cały

pl.wikipedia.org/wiki/W%C5%82asno%C5%9B%C4%87_Kadieca
słabą własnością Kadieca-Kleego. Okazauje się, że \(\displaystyle{ \ell_1}\) jako przestrzeń sprzężona do \(\displaystyle{ c_0}\) ma tę własność - wynika to z obserwacji przed Theorem 1.2, samego Theorem 1.2 oraz Theorem 3.1

Kod: Zaznacz cały

archive.ymsc.tsinghua.edu.cn/pacm_download/116/7343-11512_2006_Article_BF02384469.pdf
z tej pracy.

Myślę, że istnieje prostszy dowód wprost, ale pomyślę nad nim kiedy indziej.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbieżność normowa

Post autor: Dasio11 »

Stosując *-słabą zbieżność do ciągów postaci

\(\displaystyle{ \delta_i = (0, 0, \ldots, 0, \underset{\substack{\uparrow \\ i}}{1}, 0, \ldots) \in c_0}\)

dostajemy, że \(\displaystyle{ x_n^*}\) zbiega punktowo do \(\displaystyle{ x^*}\). Ustalmy \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) i weźmy \(\displaystyle{ K \in \mathbb{N}}\), takie że \(\displaystyle{ \sum_{k=K+1}^{\infty} |x^*(k)| \le \varepsilon}\). Dla uproszczenia zapisu niech

\(\displaystyle{ \begin{array}{lrrrrrrrl}
y^* & \!\!\!\! = \big( & \!\!\!\!\! x^*(1), & \!\! x^*(2), & \ldots, & \!\! x^*(K), & 0, & 0, & \ldots \big) \\[1ex]
z^* & \!\!\!\! = \big( & 0, & 0, & \ldots, & 0, & \!\! x^*(K+1), & \!\! x^*(K+2), & \ldots \big),
\end{array}}\)


tak że \(\displaystyle{ x^* = y^* + z^*}\), i niech \(\displaystyle{ x_n^* = y_n^* + z_n^*}\) będzie analogicznym rozkładem \(\displaystyle{ x_n^*}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ \| z^* \| \le \varepsilon}\).

Z punktowej zbieżności wynika istnienie takiego \(\displaystyle{ N \in \mathbb{N}}\), że \(\displaystyle{ \| y_n^* - y^* \| \le \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n \ge N}\). W razie potrzeby zwiększając \(\displaystyle{ N}\) możemy dodatkowo założyć, że \(\displaystyle{ \| x_n^* \| \le \| x^* \| + \varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n \ge N}\). Wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ \| x_n^* - x^* \| \le 5\varepsilon}\) dla \(\displaystyle{ n \ge N}\).

Ustalmy więc \(\displaystyle{ n \ge N}\) i zauważmy, że

\(\displaystyle{ \| x_n^* - x^* \| = \| y_n^* - y^* \| + \| z_n^* - z^* \| \le \| y_n^* - y^* \| + \| z_n^* \| + \| z \|^* \le \varepsilon + \| z_n^* \| + \varepsilon}\).

Mamy ponadto

\(\displaystyle{ \| y_n^* \| + \| z_n^* \| = \| x_n^* \| \le \| x^* \| + \varepsilon = \| y^* \| + \| z^* \| + \varepsilon}\)

zatem

\(\displaystyle{ \| z_n^* \| \le \| y^* \| - \| y_n^* \| + \| z^* \| + \varepsilon \le \| y_n^* - y^* \| + \| z^* \| + \varepsilon \le 3 \varepsilon}\).

Stąd ostatecznie \(\displaystyle{ \| x_n^* - x^* \| \le 5 \varepsilon}\), co kończy dowód.
ODPOWIEDZ