Norma, funkcjonał

[monikapiorko]

Oceń czy zdanie jest prawdziwe.
Normy \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{\sup} }\) i \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||_{1} :C[0,1]\rightarrow \RR }\) są określone wzorami: \(\displaystyle{ ||x||_{\sup}=\sup_{0\leq t\leq 1} |x(t)|, ||x||_1= \int\limits_{0}^{1} |x(t)|dt }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]. }\)

a. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \frac{||x||_{\sup}+2||x||_1}{3} }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), nie jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\).

b. Funkcja \(\displaystyle{ || \cdot || : C[0,1] \rightarrow \RR }\), określona wzorem \(\displaystyle{ ||x||= \max (2||x||_{\sup},3||x||_1) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1] }\), jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1] }\) równoważną normie \(\displaystyle{ ||\cdot||_{\sup}}\).

c. Niech \(\displaystyle{ f:(C[0,1], || \cdot ||_{\sup}) \rightarrow \RR }\) będzie funkcjonałem określonym wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x(1/3)+x(2/3) }\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]}\). Wówczas \(\displaystyle{ ||f||=1 }\).

[a4karo]

Jakieś własne przemyślenia?

[monikapiorko]

Właśnie nie wiem jak się za to zabrać.

[a4karo]

W a i b tak naprawdę do sprawdzenia jest tylko warunek trójkąta

w c policz np normę funkcji `x(t)=1`

[Janusz Tracz]

normę funkcji `x(t)=1`

To nie jest funkcja. Link przekieruje Cię do tematu gdzie jest to opisane.

[a4karo]

1) to jest funkcja z \(\displaystyle{ C([0,1])}\)
2) jaki związek ma ten link z treścia tematu?
3) powinienem napisać nie "normę funkcji `x(t)=1` lecz "wartość funkcjonału `f` na funkcji `x(t)=1`" - przepraszam za ten brak precyzji. Swoją drogą, żeby odpowiedzieć na pytanie trzeba będzie też obliczyć normę funkcji `x(t)=1`

[Janusz Tracz]

Funkcją jest \(\displaystyle{ x}\) albo \(\displaystyle{ [0,1]\ni t\mapsto 1\in \RR}\) jak się chce dodatkowo powiedzieć, że chodzi mam o funkcję stałą ale \(\displaystyle{ x(t)}\) to ewaluacja.

[a4karo]

Formalnie masz rację. Ale i tak wszyscy wiedzą o jaką funkcje chodzi, a ja zaoszczędziłem parę klików