Operatory

[monikapiorko]

Oceń prawdziwość zdań.
Operator \(\displaystyle{ T: l^2 \rightarrow l^2 }\) jest określony wzorem \(\displaystyle{ Tx = (0,0,a_1,\frac{1}{2}a_2,...,\frac{1}{2^{n-1}}a_n)}\) dla \(\displaystyle{ x=(a_k)_{k\in\mathbb{N}} \in l^2}\).

a. \(\displaystyle{ ||T(\sum_{k=1}^n e_k)|| = \sqrt{2-\frac{1}{2^{n-1}}}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).
b. Operator \(\displaystyle{ T}\) jest ciągły i \(\displaystyle{ ||T||\leq \frac{1}{2}}\).
c. Operator \(\displaystyle{ S: l^2 \rightarrow l^2 }\), określony wzorem \(\displaystyle{ Sx=(a_3,\frac{1}{2}a_4,...,\frac{1}{2^{n-1}}a_n)}\) dla \(\displaystyle{ x=(a_k)_{k\in\mathbb{N}} \in l^2}\) jest operatorem sprzężonym do \(\displaystyle{ T}\).
d. Operator \(\displaystyle{ T*}\) jest ograniczony i \(\displaystyle{ ||T||\geq 1}\).