Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
monikapiorko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 maja 2022, o 13:23
Płeć: Kobieta
wiek: 29
Podziękował: 3 razy

Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: monikapiorko »

Oceń czy zdanie jest prawdziwe. Uzupełnij lukę.
a. Funkcja \(\displaystyle{ \left\langle \cdot, \cdot\right\rangle : \RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR }\) dana wzorem \(\displaystyle{ \left\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\right\rangle x_1y_2-x_2y_1}\) jest iloczynem skalarnym na \(\displaystyle{ \RR^2.}\)

b. Funkcja \(\displaystyle{ \left\langle \cdot, \cdot\right\rangle :\CC^2 \times \CC^2 \rightarrow \CC }\) dana wzorem \(\displaystyle{ \left\langle (z_1,z_2),(u_1,u_2)\right\rangle=z_1\overline{u_1}+2z_2\overline{u_2}}\) jest iloczynem skalarnym na \(\displaystyle{ \CC^2. }\)

c. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) z normą daną wzorem \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||=|x_1|+|x_2| }\) jest przestrzenią unitarną.

d. Jeśli \(\displaystyle{ \left\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\right\rangle= ................ }\) to wektory \(\displaystyle{ (0,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,1)}\) są prostopadłe w przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ (\RR^2,\left\langle \cdot, \cdot\right\rangle).}\)
Ostatnio zmieniony 4 maja 2022, o 16:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: Janusz Tracz »

Wiesz jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny? Bo \(\displaystyle{ (a)}\) oraz \(\displaystyle{ (b)}\) sprowadzają się do tego by te warunki sprawdzić. Przykładowo kładąc \(\displaystyle{ x=y=(1,1)}\) w \(\displaystyle{ (a)}\) widać, że \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle=0 }\), a to oznacza, że pewien warunek nie jest spełniony. W \(\displaystyle{ (c)}\) założyłbym, że norma \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) podchodzi od pewnego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle}\) wtedy można taki potencjalny iloczyn skalarny odzyskać

Kod: Zaznacz cały

en.wikipedia.org/wiki/Polarization_identity
tożsamość polaryzacyjna i zobaczyć, czy to faktycznie iloczyn skalarny. W \(\displaystyle{ (d)}\) nie wiem o co chodzi.
Ostatnio zmieniony 4 maja 2022, o 17:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
monikapiorko
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 4 maja 2022, o 13:23
Płeć: Kobieta
wiek: 29
Podziękował: 3 razy

Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: monikapiorko »

Dla b) nie umiem znaleźć przykładu, potwierdzającego, że nie jest iloczynem skalarnym. Masz jakiś pomysł? A w d) chodzi o wzór na iloczyn skalarny, aby warunki były spełnione. Doszłam do takiego wzoru \(\displaystyle{ (x_1+x_2)(y_1+y_2)+x_1y_1}\) i myślę, że jest ok. Dzięki wielkie za wszystkie wskazówki.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: Janusz Tracz »

monikapiorko pisze: 4 maja 2022, o 18:07 Dla b) nie umiem znaleźć przykładu, potwierdzającego, że nie jest iloczynem skalarnym. Masz jakiś pomysł?
Jak patrzę na ten wzór to obstawiałbym, że to raczej jest iloczyn skalarny. To znaczy w (a) widać od razu, że warunek niezdegenerowania nie jest spełniony. Ale w (b) sprawdzałbym kolejno
  • sprzężoną symetrię, mamy \(\displaystyle{ \left\langle z,u\right\rangle=\overline{\overline{z_1\overline{u_1}+2z_2\overline{u_2}}}=\overline{u_1\overline{z_1}+2u_2\overline{z_2}}=\overline{\left\langle u,z\right\rangle }}\),
  • liniowość ze względu na pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ \left\langle \alpha z+ \beta w,u\right\rangle= \alpha \left\langle z,u\right\rangle+ \beta \left\langle w,u\right\rangle}\),
  • niezdegenerowanie, jeśli \(\displaystyle{ \left\langle z,z\right\rangle=0 }\) to \(\displaystyle{ z_1\overline{z_1}+2z_2\overline{z_2}=0}\) ale to oznacza, że \(\displaystyle{ |z_1|^2+2|z_2|^2=0}\), a to, że \(\displaystyle{ z=(z_1,z_2)=(0,0)}\),
  • dodatnią określoność, to wynika wprost z tego co przed chwilą.
PS (d) jakieś dziwne to zadanie. Pewnie trzeba wpisać zero.
Dodano po 9 godzinach 35 minutach 12 sekundach:
PPS (d) jest bez sensu.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2022, o 10:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: Dasio11 »

monikapiorko pisze: 4 maja 2022, o 18:07Doszłam do takiego wzoru \(\displaystyle{ (x_1+x_2)(y_1+y_2)+x_1y_1}\) i myślę, że jest ok.
Jest ok.
Janusz Tracz pisze: 5 maja 2022, o 09:48PPS (d) jest bez sensu.
Dlaczego? Trzeba podać przykład iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\), takiego że \(\displaystyle{ \left< \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right> = 0}\).
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna

Post autor: Janusz Tracz »

Dasio11 pisze: 5 maja 2022, o 18:33 Dlaczego? Trzeba podać przykład iloczynu skalarnego...
No tak to jest dość sensowna interpretacja tego zadania. Jednak zadanie polega na ocenieniu prawdziwości zdań. Więc jak podasz iloczyn skalarny taki, że zajdzie to co piszesz to zdanie będzie naturalnie prawdziwe. Ale jak podam inny iloczyn skalarny który nie spełni równości
\(\displaystyle{ \left< \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right> = 0}\)
to ocenię zdanie jako fałszywe jednocześnie poprawnie rozwiązując zadanie.
ODPOWIEDZ