Oceń czy zdanie jest prawdziwe. Uzupełnij lukę.
a. Funkcja \(\displaystyle{ \left\langle \cdot, \cdot\right\rangle : \RR^2 \times \RR^2 \rightarrow \RR }\) dana wzorem \(\displaystyle{ \left\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\right\rangle x_1y_2-x_2y_1}\) jest iloczynem skalarnym na \(\displaystyle{ \RR^2.}\)
b. Funkcja \(\displaystyle{ \left\langle \cdot, \cdot\right\rangle :\CC^2 \times \CC^2 \rightarrow \CC }\) dana wzorem \(\displaystyle{ \left\langle (z_1,z_2),(u_1,u_2)\right\rangle=z_1\overline{u_1}+2z_2\overline{u_2}}\) jest iloczynem skalarnym na \(\displaystyle{ \CC^2. }\)
c. Przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^2}\) z normą daną wzorem \(\displaystyle{ ||(x_1,x_2)||=|x_1|+|x_2| }\) jest przestrzenią unitarną.
d. Jeśli \(\displaystyle{ \left\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\right\rangle= ................ }\) to wektory \(\displaystyle{ (0,1)}\) i \(\displaystyle{ (-1,1)}\) są prostopadłe w przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ (\RR^2,\left\langle \cdot, \cdot\right\rangle).}\)
Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 4 maja 2022, o 13:23
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 3 razy
Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
Ostatnio zmieniony 4 maja 2022, o 16:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
Wiesz jakie warunki powinien spełniać iloczyn skalarny? Bo \(\displaystyle{ (a)}\) oraz \(\displaystyle{ (b)}\) sprowadzają się do tego by te warunki sprawdzić. Przykładowo kładąc \(\displaystyle{ x=y=(1,1)}\) w \(\displaystyle{ (a)}\) widać, że \(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle=0 }\), a to oznacza, że pewien warunek nie jest spełniony. W \(\displaystyle{ (c)}\) założyłbym, że norma \(\displaystyle{ \| \cdot \|}\) podchodzi od pewnego iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle}\) wtedy można taki potencjalny iloczyn skalarny odzyskać
tożsamość polaryzacyjna i zobaczyć, czy to faktycznie iloczyn skalarny. W \(\displaystyle{ (d)}\) nie wiem o co chodzi.
Kod: Zaznacz cały
en.wikipedia.org/wiki/Polarization_identity
Ostatnio zmieniony 4 maja 2022, o 17:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 4 maja 2022, o 13:23
- Płeć: Kobieta
- wiek: 29
- Podziękował: 3 razy
Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
Dla b) nie umiem znaleźć przykładu, potwierdzającego, że nie jest iloczynem skalarnym. Masz jakiś pomysł? A w d) chodzi o wzór na iloczyn skalarny, aby warunki były spełnione. Doszłam do takiego wzoru \(\displaystyle{ (x_1+x_2)(y_1+y_2)+x_1y_1}\) i myślę, że jest ok. Dzięki wielkie za wszystkie wskazówki.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
Jak patrzę na ten wzór to obstawiałbym, że to raczej jest iloczyn skalarny. To znaczy w (a) widać od razu, że warunek niezdegenerowania nie jest spełniony. Ale w (b) sprawdzałbym kolejnomonikapiorko pisze: ↑4 maja 2022, o 18:07 Dla b) nie umiem znaleźć przykładu, potwierdzającego, że nie jest iloczynem skalarnym. Masz jakiś pomysł?
- sprzężoną symetrię, mamy \(\displaystyle{ \left\langle z,u\right\rangle=\overline{\overline{z_1\overline{u_1}+2z_2\overline{u_2}}}=\overline{u_1\overline{z_1}+2u_2\overline{z_2}}=\overline{\left\langle u,z\right\rangle }}\),
- liniowość ze względu na pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ \left\langle \alpha z+ \beta w,u\right\rangle= \alpha \left\langle z,u\right\rangle+ \beta \left\langle w,u\right\rangle}\),
- niezdegenerowanie, jeśli \(\displaystyle{ \left\langle z,z\right\rangle=0 }\) to \(\displaystyle{ z_1\overline{z_1}+2z_2\overline{z_2}=0}\) ale to oznacza, że \(\displaystyle{ |z_1|^2+2|z_2|^2=0}\), a to, że \(\displaystyle{ z=(z_1,z_2)=(0,0)}\),
- dodatnią określoność, to wynika wprost z tego co przed chwilą.
Dodano po 9 godzinach 35 minutach 12 sekundach:
PPS (d) jest bez sensu.
Ostatnio zmieniony 5 maja 2022, o 10:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10211
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2359 razy
Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
Jest ok.monikapiorko pisze: ↑4 maja 2022, o 18:07Doszłam do takiego wzoru \(\displaystyle{ (x_1+x_2)(y_1+y_2)+x_1y_1}\) i myślę, że jest ok.
Dlaczego? Trzeba podać przykład iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \left< \cdot, \cdot \right>}\) na \(\displaystyle{ \RR^2}\), takiego że \(\displaystyle{ \left< \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right> = 0}\).
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4060
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 79 razy
- Pomógł: 1391 razy
Re: Iloczyn skalarny, norma i przestrzeń unitarna
No tak to jest dość sensowna interpretacja tego zadania. Jednak zadanie polega na ocenieniu prawdziwości zdań. Więc jak podasz iloczyn skalarny taki, że zajdzie to co piszesz to zdanie będzie naturalnie prawdziwe. Ale jak podam inny iloczyn skalarny który nie spełni równości
\(\displaystyle{ \left< \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right> = 0}\)
to ocenię zdanie jako fałszywe jednocześnie poprawnie rozwiązując zadanie.