Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią Banacha. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=\theta}\), to
\(\displaystyle{ \|x−y\|+\|y−z\|+\|z−x\|\ge \frac{3}{2} (\|x\|+\|y\|+\|z\|).}\)
Nierówność między normami
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
Nierówność między normami
Ostatnio zmieniony 3 mar 2022, o 19:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Nierówność między normami
Może wyjdę na czepialskiego lub ignoranta, ale co to jest w tym kontekście \(\displaystyle{ \theta}\)? Nie pojawia się w zapisie tezy, stąd pytanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 1 paź 2014, o 16:45
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Nierówność między normami
No to wystarczy odpowiednio rozpisać (w oparciu o to założenie) i skorzystać z nierówności trójkąta. Równoważnie mamy
\(\displaystyle{ 2\|x-y\|+2\|y-z\|+2\|z-x\|\ge 3\left(\|x\|+\|y\|+\|z\|\right)}\).
Teraz zapisujemy \(\displaystyle{ \|x-y\|=\|x-(-x-z)\|=\|2x+z\|}\) oraz \(\displaystyle{ \|z-x\|=\|x-z\|}\), więc z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ \|x-y\|+\|z-x\|=\|2x+z\|+\|x-z\|\ge \|3x\|=3\|x\|}\).
Tworzymy jeszcze dwie analogiczne nierówności, dodajemy stronami i tyle.
\(\displaystyle{ 2\|x-y\|+2\|y-z\|+2\|z-x\|\ge 3\left(\|x\|+\|y\|+\|z\|\right)}\).
Teraz zapisujemy \(\displaystyle{ \|x-y\|=\|x-(-x-z)\|=\|2x+z\|}\) oraz \(\displaystyle{ \|z-x\|=\|x-z\|}\), więc z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ \|x-y\|+\|z-x\|=\|2x+z\|+\|x-z\|\ge \|3x\|=3\|x\|}\).
Tworzymy jeszcze dwie analogiczne nierówności, dodajemy stronami i tyle.