Nierówność między normami

[malwinka1058]

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią Banacha. Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z=\theta}\), to
\(\displaystyle{ \|x−y\|+\|y−z\|+\|z−x\|\ge \frac{3}{2} (\|x\|+\|y\|+\|z\|).}\)

[Premislav]

Może wyjdę na czepialskiego lub ignoranta, ale co to jest w tym kontekście \(\displaystyle{ \theta}\)? Nie pojawia się w zapisie tezy, stąd pytanie.

[malwinka1058]

wektor zerowy

[Premislav]

No to wystarczy odpowiednio rozpisać (w oparciu o to założenie) i skorzystać z nierówności trójkąta. Równoważnie mamy
\(\displaystyle{ 2\|x-y\|+2\|y-z\|+2\|z-x\|\ge 3\left(\|x\|+\|y\|+\|z\|\right)}\).

Teraz zapisujemy \(\displaystyle{ \|x-y\|=\|x-(-x-z)\|=\|2x+z\|}\) oraz \(\displaystyle{ \|z-x\|=\|x-z\|}\), więc z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ \|x-y\|+\|z-x\|=\|2x+z\|+\|x-z\|\ge \|3x\|=3\|x\|}\).
Tworzymy jeszcze dwie analogiczne nierówności, dodajemy stronami i tyle.