Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Mam takie zadanie i nie bardzo widzę, o co w ogóle zahaczyć.
Niech \(\displaystyle{ D = C([0,1]) \subset L^{2}([0,1])}\). Dla \(\displaystyle{ \alpha > 0}\) definiujemy operator \(\displaystyle{ T_{\alpha} : D \rightarrow L^{2}([0,1])}\) wzorem \(\displaystyle{ (T_{\alpha}(f))(x) = f(x^{\alpha})}\).
Mam wyznaczyć zbiór tych \(\displaystyle{ \alpha}\) dla których operator \(\displaystyle{ T_{\alpha}}\) jest ograniczony oraz wyznaczyć dla nich normę tego operatora.
Czy mógłbym zapytać, jak się za takie zadania bierze? Mam kilka lecz nie potrafię żadnego rozwiązać przez to że brakuje mi jakiegokolwiek punktu zaczepienia. Wydaje mi się że widząc jak się robi przykładowe dałbym radę zrobić analogiczne zadania.
Bardzo dziękuję za pomoc.
Niech \(\displaystyle{ D = C([0,1]) \subset L^{2}([0,1])}\). Dla \(\displaystyle{ \alpha > 0}\) definiujemy operator \(\displaystyle{ T_{\alpha} : D \rightarrow L^{2}([0,1])}\) wzorem \(\displaystyle{ (T_{\alpha}(f))(x) = f(x^{\alpha})}\).
Mam wyznaczyć zbiór tych \(\displaystyle{ \alpha}\) dla których operator \(\displaystyle{ T_{\alpha}}\) jest ograniczony oraz wyznaczyć dla nich normę tego operatora.
Czy mógłbym zapytać, jak się za takie zadania bierze? Mam kilka lecz nie potrafię żadnego rozwiązać przez to że brakuje mi jakiegokolwiek punktu zaczepienia. Wydaje mi się że widząc jak się robi przykładowe dałbym radę zrobić analogiczne zadania.
Bardzo dziękuję za pomoc.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Spróbuj z definicji. Twoim celem jest znalezienie
\(\displaystyle{ \| T_\alpha \| = \sup \left\{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} : f \in D, \|f\|_{\infty} = 1 \right\} }\),
Często spotykanym sposobem jest ograniczenie operatora z góry, tzn stwierdzenie, że \(\displaystyle{ \| T_\alpha \| \le K}\), a potem wskazujemy (o ile istnieje) konkretny przykład \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\), dla którego \(\displaystyle{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} = K}\). Ewentualnie, jakiś ciąg po którym możemy dojść dowolnie blisko \(\displaystyle{ K}\). Pokażę może na przykładzie dla \(\displaystyle{ \alpha = 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} \int_0^1 \mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} = 1}\),
więc na pewno \(\displaystyle{ \| T_1 \| \le 1}\). Ale biorąc funkcję stale równą jeden: \(\displaystyle{ g = 1}\), dostajemy \(\displaystyle{ \| T_1 g \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 1^2 \mbox{d}x = 1}\). Więc taka będzie norma tego operatora.
\(\displaystyle{ \| T_\alpha \| = \sup \left\{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} : f \in D, \|f\|_{\infty} = 1 \right\} }\),
Często spotykanym sposobem jest ograniczenie operatora z góry, tzn stwierdzenie, że \(\displaystyle{ \| T_\alpha \| \le K}\), a potem wskazujemy (o ile istnieje) konkretny przykład \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\), dla którego \(\displaystyle{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} = K}\). Ewentualnie, jakiś ciąg po którym możemy dojść dowolnie blisko \(\displaystyle{ K}\). Pokażę może na przykładzie dla \(\displaystyle{ \alpha = 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\) mamy
\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} \int_0^1 \mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} = 1}\),
więc na pewno \(\displaystyle{ \| T_1 \| \le 1}\). Ale biorąc funkcję stale równą jeden: \(\displaystyle{ g = 1}\), dostajemy \(\displaystyle{ \| T_1 g \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 1^2 \mbox{d}x = 1}\). Więc taka będzie norma tego operatora.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
To weźmy może tak, niech \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) i \(\displaystyle{ s = t^{a}}\), wtedy \(\displaystyle{ dt = \frac{1}{a} s^{\frac{1-a}{a}}ds }\).
Mamy więc, \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2} }\). To pokazuje że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) należy do \(\displaystyle{ L^{2}( (0,1] )}\) bo prawa strona jest skończona, a normy \(\displaystyle{ f}\) szukamy po wektorach o długości \(\displaystyle{ 1}\) więc mamy że \(\displaystyle{ \| T_a f \| \le \frac{1}{\sqrt{a}}}\). Teraz wystarczy pokazać że dla \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) mamy jakiś ciąg wektorów \(\displaystyle{ f \in D}\) taki że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) zbliża się do \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a}}}\)?
Mamy więc, \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2} }\). To pokazuje że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) należy do \(\displaystyle{ L^{2}( (0,1] )}\) bo prawa strona jest skończona, a normy \(\displaystyle{ f}\) szukamy po wektorach o długości \(\displaystyle{ 1}\) więc mamy że \(\displaystyle{ \| T_a f \| \le \frac{1}{\sqrt{a}}}\). Teraz wystarczy pokazać że dla \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) mamy jakiś ciąg wektorów \(\displaystyle{ f \in D}\) taki że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) zbliża się do \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a}}}\)?
Ostatnio zmieniony 24 cze 2021, o 19:55 przez mmss, łącznie zmieniany 5 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Chyba nie do końca rozumiem Pana uwagę... staram się wczytać dokładnie i nie wiem o co chodzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 22218
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Popatrz na wzór po zamianie zmiennej. Wartość bezwzględna funkcji szacujesz przez normę supremum, ale pozostał jeszcze jeden czynnik.
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Rozumiem że mówimy o czynniku \(\displaystyle{ s^{\frac{1-a}{a}}}\). Ale my go porzucamy bo jest mniejszy niż 1, bo \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\).
Czy może powinno być \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?
Czy może powinno być \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Chodzi o to, że zarówno szacowanie:
Żeby jeszcze lepiej to zobrazować, zobacz, że w przykładzie który rozpisywałem, mogłem napisać
\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 10 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = 10}\),
ale czy znalazłbym funkcję, która dałaby mi \(\displaystyle{ \int_0^1 |f(x)|^2\mbox{d}x = 10}\)? No ciężko. Krótko mówiąc, to oszacowanie z góry trzeba zrobić jak najlepsze - a dokładniej to musi być oszacowanie przez liczbę, która ostatecznie okazę się być normą danego operatora.
jak i
są poprawne dla \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\), ale to pierwsze jest za grube i nie uda Ci się znaleźć funkcji, która wybije \(\displaystyle{ \| T_a f \|_{L^2} = \frac{1}{\sqrt{a}}}\) (ani ciągu, który będzie do tej liczby podchodził).
Żeby jeszcze lepiej to zobrazować, zobacz, że w przykładzie który rozpisywałem, mogłem napisać
\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 10 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = 10}\),
ale czy znalazłbym funkcję, która dałaby mi \(\displaystyle{ \int_0^1 |f(x)|^2\mbox{d}x = 10}\)? No ciężko. Krótko mówiąc, to oszacowanie z góry trzeba zrobić jak najlepsze - a dokładniej to musi być oszacowanie przez liczbę, która ostatecznie okazę się być normą danego operatora.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Nie no, dobrze jest. Po prostu Twoja pierwsza próba dawała zbyt duże ograniczenie z góry. Co prawa to już pokazuje, że operator jest ograniczony, ale nie pomaga w dokładnym wyliczeniu jego normy.
Druga próba (tam, gdzie zostawiasz ten czynnik \(\displaystyle{ s^{\frac{1-a}{a}}}\) o którym pisał @a4karo) jest dobra. Jakie tam wychodzi ograniczenie górne?
Druga próba (tam, gdzie zostawiasz ten czynnik \(\displaystyle{ s^{\frac{1-a}{a}}}\) o którym pisał @a4karo) jest dobra. Jakie tam wychodzi ograniczenie górne?
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Mamy takie szacowanie : \(\displaystyle{ \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \|f\|^{2} }\)
bo \(\displaystyle{ \int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds = \left[ \frac{ x^{\frac{1}{a}} }{ \frac{1}{a} }\right] ^{1}_{0} = a}\), czy o to chodzi?
bo \(\displaystyle{ \int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds = \left[ \frac{ x^{\frac{1}{a}} }{ \frac{1}{a} }\right] ^{1}_{0} = a}\), czy o to chodzi?
Ostatnio zmieniony 24 cze 2021, o 21:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Tak, czyli norma tego operatora nie może być większa niż jeden. A czy można prosto wskazać funkcję, która powie, że ta norma to jest dokładnie jeden?
-
- Użytkownik
- Posty: 170
- Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 2 razy
Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru
Wydaje mi się, że funkcja stała równa \(\displaystyle{ f(x) = 1}\) spełnia ten warunek. Należy ona do \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ Tf \in L_{2}}\). Czy dobrze myślę?