Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: Tmkk »

Tak jest
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: mmss »

Czyli ten operator dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) ma normę równą \(\displaystyle{ 1}\).

Ale to tylko połowa zadania, a co zrobić dla \(\displaystyle{ a > 1}\)?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: Tmkk »

A tak na dobrą sprawę, gdzie w tym rozumowaniu (w tym, w którym wyszło, że norma operatora to jeden) korzystałeś z tego, że \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\)?
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: mmss »

Czuję się troszkę skonsternowany.. nigdzie. Po prostu, \(\displaystyle{ a > 0}\).

A czy da się dla konkretnego \(\displaystyle{ a > 0}\) znaleźć wzór na normę operatora? Bo my pokazaliśmy że operatory są ograniczone i że nasze ograniczenie jest osiąganą normą... ale to nic nie mówi, jakie są normy dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ a}\).

Dodano po 20 minutach 22 sekundach:
Chociaż, dla każdego \(\displaystyle{ a>0}\) przecież funkcja stała jest w \(\displaystyle{ D}\) i tutaj wartość \(\displaystyle{ a}\) nie ma nic do rzeczy, więc zawsze norma tego operatora będzie wynosiła \(\displaystyle{ 1}\)?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: Tmkk »

Znalezienie normy operatora to nic innego, jak zalezienie supremum pewnego zbioru, w tym przypadku jest to supremum takiego zbioru:

\(\displaystyle{ A = \left\{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} : f \in D, \|f\|_{\infty} = 1 \right\} }\).

Przypomnę może jak się szuka supremum zbioru. Weźmy jakiś bardzo prosty, np \(\displaystyle{ B = \left\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}}\). Supremum z definicji jest to najmniejsze ograniczenie góre tego zbioru. Moim kandydatem jest oczywiście \(\displaystyle{ 1}\) i mam dwie rzeczy do pokazania - że jedynka jest ograniczeniem górym oraz że jest najlepszym (najmniejszym) ograniczeniem górym.

Jedynka jest ograniczeniem górym, bo dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \le 1}\) - krótko mówiąc, każdy element ze zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest mniejszy od jedynki.

Jedynka jest najmniejszym ograniczeniem górym, bo ona w tym zbiorze siedzi - wystarczy wziąc \(\displaystyle{ n = 1}\). Więc nic mniejszego od jedynki nie mogłoby być ograniczeniem górym, bo nie dominowałoby wszystkich elementów ze zbioru \(\displaystyle{ B}\) (np. własnie jedynki : P)

A teraz popatrz na to, co zrobiłeś w tym zadaniu.

Pokazałeś, że jedynka jest ograniczeniem góym zbioru \(\displaystyle{ A}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie jeden, mamy \(\displaystyle{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} \le 1}\) - czyli wszystkie elementy zbioru \(\displaystyle{ A}\) są ograniczone z góry przez jeden.

Pokazałeś, że jedynka jest najmniejszym ograniczeniem górym, bo siedzi w tym zbioru - wystarczy wziąc \(\displaystyle{ f \equiv 1}\).

Czyli widzisz, że to oznacza, że supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\) to liczba \(\displaystyle{ 1}\), a innymi słowy norma tego operatora to po prostu jeden? (niezależenie od parametru \(\displaystyle{ \alpha}\)).

EDIT widzę, że już napisałeś dobrze w tej dodatkowej wiadomości, ale skoro się rozpisałem, to zostawię.
mmss
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 1 lis 2018, o 15:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: mmss »

Tak, bardzo dziękuję za pomoc i cierpliwość z tym że udało się to doprowadzić do końca! Niezmiernie się cieszę :)


ps. Na marginesie zadam inne pytanie, a czym to zadanie by się różniło gdybym zamiast \(\displaystyle{ D = C( [0,1] )}\) wziął zbiór \(\displaystyle{ D = L^{2}( [0,1] )}\)? Czy przechodzi to samo rozumowanie?

Dodano po 3 minutach 24 sekundach:
I już ostatnie pytanie bym zadał, nie do końca potrafię usprawiedliwić się z tego przejścia
mmss pisze: 24 cze 2021, o 19:53
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?
Czemu to wyciągnięcie kwadratu normy przed całkę i rozbicie wyrażenia na inną całkę(tą z s) jest legalne?
Tmkk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1718
Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 59 razy
Pomógł: 501 razy

Re: Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

Post autor: Tmkk »

mmss pisze: 24 cze 2021, o 22:47 ps. Na marginesie zadam inne pytanie, a czym to zadanie by się różniło gdybym zamiast \(\displaystyle{ D = C( [0,1] )}\) wziął zbiór \(\displaystyle{ D = L^{2}( [0,1] )}\)? Czy przechodzi to samo rozumowanie?
Nie, bo teraz szukając ograniczenia górego, musisz rozpatrywać funkcje \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ \| f \|_{L^2} = 1}\). Więc jeśli zrobisz to samo co w tym przykładzie i pojawi się wyrażenie \(\displaystyle{ \| f \|_{\infty}}\), to niewiele z nim zdziałasz.

mmss pisze: 24 cze 2021, o 22:47 \(\displaystyle{ \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?

Czemu to wyciągnięcie kwadratu normy przed całkę i rozbicie wyrażenia na inną całkę(tą z s) jest legalne?
Bo mamy punktową nierówność: dla każdego \(\displaystyle{ s \in (0,1)}\) jest \(\displaystyle{ |f(s)|^2 \le \|f\|^2_{\infty}}\). Dodatkowo, na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\) funkcja \(\displaystyle{ g(s) = s^{\frac{1-a}{a}}}\) jest dodatnia, więc zachodzi \(\displaystyle{ |f(s)|^2s^{\frac{1-a}{a}} \le \|f\|^2_{\infty}s^{\frac{1-a}{a}}}\). Więc mamy też nierówność dla całek:

\(\displaystyle{ \int_0^1 |f(s)|^2s^{\frac{1-a}{a}}\mbox{d}s \le \int_0^1 \|f\|^2_{\infty}s^{\frac{1-a}{a}} \mbox{d}s}\).

Ale \(\displaystyle{ \|f\|^2_{\infty} }\) to stała, więc możemy wyciągnąć przed całkę i wychodzi.
ODPOWIEDZ