Wyznaczyć normę operatora zależną od parametru

[mmss]

Mam takie zadanie i nie bardzo widzę, o co w ogóle zahaczyć.

Niech \(\displaystyle{ D = C([0,1]) \subset L^{2}([0,1])}\). Dla \(\displaystyle{ \alpha > 0}\) definiujemy operator \(\displaystyle{ T_{\alpha} : D \rightarrow L^{2}([0,1])}\) wzorem \(\displaystyle{ (T_{\alpha}(f))(x) = f(x^{\alpha})}\).

Mam wyznaczyć zbiór tych \(\displaystyle{ \alpha}\) dla których operator \(\displaystyle{ T_{\alpha}}\) jest ograniczony oraz wyznaczyć dla nich normę tego operatora.

Czy mógłbym zapytać, jak się za takie zadania bierze? Mam kilka lecz nie potrafię żadnego rozwiązać przez to że brakuje mi jakiegokolwiek punktu zaczepienia. Wydaje mi się że widząc jak się robi przykładowe dałbym radę zrobić analogiczne zadania.

Bardzo dziękuję za pomoc.

[Tmkk]

A jaka jest norma na \(\displaystyle{ D}\)?

[mmss]

Wydaje mi się że na \(\displaystyle{ D}\) jedynym słusznym wyborem jest przyjęcie normy supremum.

[Tmkk]

Spróbuj z definicji. Twoim celem jest znalezienie

\(\displaystyle{ \| T_\alpha \| = \sup \left\{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} : f \in D, \|f\|_{\infty} = 1 \right\} }\),

Często spotykanym sposobem jest ograniczenie operatora z góry, tzn stwierdzenie, że \(\displaystyle{ \| T_\alpha \| \le K}\), a potem wskazujemy (o ile istnieje) konkretny przykład \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\), dla którego \(\displaystyle{ \| T_\alpha f \|_{L^2([0,1])} = K}\). Ewentualnie, jakiś ciąg po którym możemy dojść dowolnie blisko \(\displaystyle{ K}\). Pokażę może na przykładzie dla \(\displaystyle{ \alpha = 1}\). Dla każdego \(\displaystyle{ f \in D}\) o normie \(\displaystyle{ 1}\) mamy

\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} \int_0^1 \mbox{d}x = \|f\|^2_{\infty} = 1}\),

więc na pewno \(\displaystyle{ \| T_1 \| \le 1}\). Ale biorąc funkcję stale równą jeden: \(\displaystyle{ g = 1}\), dostajemy \(\displaystyle{ \| T_1 g \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 1^2 \mbox{d}x = 1}\). Więc taka będzie norma tego operatora.

[mmss]

To weźmy może tak, niech \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) i \(\displaystyle{ s = t^{a}}\), wtedy \(\displaystyle{ dt = \frac{1}{a} s^{\frac{1-a}{a}}ds }\).

Mamy więc, \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2} }\). To pokazuje że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) należy do \(\displaystyle{ L^{2}( (0,1] )}\) bo prawa strona jest skończona, a normy \(\displaystyle{ f}\) szukamy po wektorach o długości \(\displaystyle{ 1}\) więc mamy że \(\displaystyle{ \| T_a f \| \le \frac{1}{\sqrt{a}}}\). Teraz wystarczy pokazać że dla \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\) mamy jakiś ciąg wektorów \(\displaystyle{ f \in D}\) taki że \(\displaystyle{ \| T_a f \|}\) zbliża się do \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{a}}}\)?

[a4karo]

Za bardzo się zaopatrzyłes we wzorzec. Oprócz normy supremum pod całka jeszcze coś jest

[mmss]

Za bardzo się zaopatrzyłem we wzorzec. Oprócz normy supremum pod całka jeszcze coś jest

Chyba nie do końca rozumiem Pana uwagę... staram się wczytać dokładnie i nie wiem o co chodzi.

[a4karo]

Popatrz na wzór po zamianie zmiennej. Wartość bezwzględna funkcji szacujesz przez normę supremum, ale pozostał jeszcze jeden czynnik.

[mmss]

Rozumiem że mówimy o czynniku \(\displaystyle{ s^{\frac{1-a}{a}}}\). Ale my go porzucamy bo jest mniejszy niż 1, bo \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) oraz \(\displaystyle{ a \in (0,1]}\).

Czy może powinno być \(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?

[Tmkk]

Chodzi o to, że zarówno szacowanie:

\(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2} }\).

jak i

\(\displaystyle{ \| T_a f \|^{2} = \int^{1}_{0} |f(t^{a})|^{2}dt = \frac{1}{a}\int^{1}_{0}|f(s)|^{2}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds}\)?

są poprawne dla \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\), ale to pierwsze jest za grube i nie uda Ci się znaleźć funkcji, która wybije \(\displaystyle{ \| T_a f \|_{L^2} = \frac{1}{\sqrt{a}}}\) (ani ciągu, który będzie do tej liczby podchodził).

Żeby jeszcze lepiej to zobrazować, zobacz, że w przykładzie który rozpisywałem, mogłem napisać

\(\displaystyle{ \| T_1 f \|^2_{L^2([0,1])} = \int_0^1 |f(x)|^2 \mbox{d}x \le \int_0^1 10 \|f\|^2_{\infty}\mbox{d}x = 10}\),

ale czy znalazłbym funkcję, która dałaby mi \(\displaystyle{ \int_0^1 |f(x)|^2\mbox{d}x = 10}\)? No ciężko. Krótko mówiąc, to oszacowanie z góry trzeba zrobić jak najlepsze - a dokładniej to musi być oszacowanie przez liczbę, która ostatecznie okazę się być normą danego operatora.

[mmss]

Eh dziękuję za pomoc, trochę jestem w kropce. Wiem mniej niż wiedziałem.

[Tmkk]

Nie no, dobrze jest. Po prostu Twoja pierwsza próba dawała zbyt duże ograniczenie z góry. Co prawa to już pokazuje, że operator jest ograniczony, ale nie pomaga w dokładnym wyliczeniu jego normy.

Druga próba (tam, gdzie zostawiasz ten czynnik \(\displaystyle{ s^{\frac{1-a}{a}}}\) o którym pisał @a4karo) jest dobra. Jakie tam wychodzi ograniczenie górne?

[mmss]

Mamy takie szacowanie : \(\displaystyle{ \frac{1}{a}\|f\|^{2}\int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds \le \|f\|^{2} }\)
bo \(\displaystyle{ \int^{1}_{0}s^{\frac{1-a}{a}}ds = \left[ \frac{ x^{\frac{1}{a}} }{ \frac{1}{a} }\right] ^{1}_{0} = a}\), czy o to chodzi?

[Tmkk]

Tak, czyli norma tego operatora nie może być większa niż jeden. A czy można prosto wskazać funkcję, która powie, że ta norma to jest dokładnie jeden?

[mmss]

Wydaje mi się, że funkcja stała równa \(\displaystyle{ f(x) = 1}\) spełnia ten warunek. Należy ona do \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ Tf \in L_{2}}\). Czy dobrze myślę?