Pokazać, że jeśli niezerowe elementy \(\displaystyle{ x,y}\) przestrzeni unitarnej \(\displaystyle{ X}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \left| \left| x\right| \right| + \left| \left| y \right| \right| }\), to \(\displaystyle{ y = \alpha x }\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0, + \infty ) }\).
Rozpisałam to z definicji normy:
\(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \sqrt{(x|x) + 2(x|y) + (y|y) } }\)
Myślałam o wykorzystaniu nierówności Schwarza, ale nie widzę punktu w którym mogę uzyskać wniosek, że \(\displaystyle{ y}\) musi mieć konkretną wartość.
Proszę o jakieś wskazówki.
Norma unitarna
-
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 18 cze 2016, o 14:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy
Norma unitarna
Ostatnio zmieniony 22 cze 2021, o 12:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Norma unitarna
To zachodzi tylko w przestrzeniach rzeczywistych.
A co do rozwiązania, to podnosząc założenie \(\displaystyle{ \left| \left| x+y\right| \right| = \left| \left| x\right| \right| + \left| \left| y \right| \right| }\) obustronnie do kwadratu otrzymujemy
\(\displaystyle{ \|x\|\|y\|=\Re (x|y)}\)
Dalej z nierówności Schwarza:
\(\displaystyle{ |(x|y)|\leq \|x\|\|y\|=\Re (x|y)\leq |(x|y)|}\)
Teraz wykorzystaj warunek równoważny równości \(\displaystyle{ |(x|y)|=\|x\|\|y\|}\).