Przestrzeń Banacha

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
xxmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2021, o 19:43
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Przestrzeń Banacha

Post autor: xxmath »

Dzień dobry wszystkim! Potrzebuję pomocy/wskazówek, które pomogą mi rozwiązać następujące zadanie:
Jeżeli istnieje ciągle i otwarte odwzorowanie liniowe przestrzeni Banacha \(\displaystyle{ X}\) na przestrzeń unormowaną \(\displaystyle{ Y}\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią Banacha.

Za wskazówki będę bardzo wdzięczna
Ostatnio zmieniony 17 cze 2021, o 20:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Przestrzeń Banacha

Post autor: matmatmm »

Czy jest założenie różnowartościowości tej funkcji?

Ukryta treść:    
xxmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 cze 2021, o 19:43
Płeć: Kobieta
wiek: 21

Re: Przestrzeń Banacha

Post autor: xxmath »

Zadanie jest skonstruowane w taki sposób, jak zapisałam. Nic poza tym, czyli żadnego dodatkowego założenia nie mam :(
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń Banacha

Post autor: Dasio11 »

Szkic: skoro odwzorowanie jest otwarte (nazwijmy je \( f \)), to obraz kuli jednostkowej zawiera pewną domkniętą kulę \( \overline{B}(0, \tfrac{1}{m}) \). Weźmy dowolny ciąg Cauchy'ego \( (y_n) \subseteq Y \). Bez straty ogólności mamy \( \| y_{n+1} - y_n \| \le \frac{1}{2^n} \). Konstruujemy indukcyjnie ciąg \( (x_n) \subseteq X \) o tej własności, że \( f(x_n) = y_n \) oraz \( \| x_{n+1} - x_n \| \le \frac{m}{2^n} \). Wtedy \( (x_n) \) jest ciągiem Cauchy'ego, zatem jest zbieżny do pewnego elementu \( x \in X \), a wówczas \( (y_n) \) zbiega do \( f(x) \).

Myślę też, że założenie różnowartościowości nie jest szczególnie ważne, bo można je sobie łatwo zapewnić wydzielając przez jądro - ale mogę blefować, bo szczegółów nie sprawdzałem. ;)
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: Przestrzeń Banacha

Post autor: matmatmm »

Dasio11 pisze: 18 cze 2021, o 19:27 Konstruujemy indukcyjnie ciąg \( (x_n) \subseteq X \) o tej własności, że \( f(x_n) = y_n \) oraz \( \| x_{n+1} - x_n \| \le \frac{m}{2^n} \).
Jak dokładnie konstruujemy ten ciąg?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Przestrzeń Banacha

Post autor: Dasio11 »

Kiedy mamy już \( x_n \), zapisujemy \( y_{n+1} = y_n + v \), gdzie \( \| v \| \le \frac{1}{2^n} \). Skoro \( f \big[ \overline{B}( 0, 1 ) \big] \supseteq \overline{B}( 0, \tfrac{1}{m} ) \), to z liniowości \( f \big[ \overline{B}( 0, \tfrac{m}{2^n} ) \big] \supseteq \overline{B}( 0, \tfrac{1}{2^n} ) \), więc \( v = f(u) \) dla pewnego \( u \in X \), gdzie \( \| u \| \le \frac{m}{2^n} \). Wtedy wystarczy przyjąć \( x_{n+1} = x_n + u \).
ODPOWIEDZ