Norma

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Aspik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 5 lip 2018, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy

Norma

Post autor: Aspik » 12 cze 2021, o 13:53

Witam, czy mógłby mi ktoś sprawdzić poniższe zadanie?

Sprawdzić, czy funkcja \(\displaystyle{ N: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} }\) jest normą w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)

\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }}}\)

dla \(\displaystyle{ \displaystyle{ x=\left( x _{1},x _{2},..., x _{n} \right)}}\)

Pierwszy warunek:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( x\right)= \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = 0 \Leftrightarrow }\) \(\displaystyle{ \displaystyle x _{1},x _{2},..., x _{n} = 0}\)

Drugi warunek:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ N \left( \alpha x\right)= \left( \alpha x _{1} ^{2}+ 2 \alpha x _{2} ^{2}+ 3 \alpha x _{3} ^{2} +...+ n \alpha x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = \alpha { \left( x _{1} ^{2}+ 2 x _{2} ^{2}+ 3 x _{3} ^{2} +...+ n x _{n} ^{n} \right) ^{ \frac{1}{2} }} = \alpha N \left( x\right) }\)

Trzeci warunek:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \left( \left( x _{1}+y _{1} \right) ^{2}+ 2\left( x _{2}+y _{2} \right) ^{2}+ ... +n \left( x _{n}+y _{n} \right) ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} }= \left(x _{1} ^{2}+ 2x _{1}y _{1}+y _{1} ^{2}+... + nx _{n} ^{2}+ 2nx _{n}y _{n}+y _{n} ^{2} \right) ^{ \frac{1}{2} } \le \left(x _{1} ^{2}+... + n x _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} } + \left(y _{1} ^{2}+... + n y _{n} ^{2}\right) ^{ \frac{1}{2} }}}\)

zatem funkcja jest normą.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19468
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3296 razy

Re: Norma

Post autor: a4karo » 12 cze 2021, o 14:11

A skąd ta nierówność w trzecim warunku?

Aspik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 5 lip 2018, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 9 razy

Re: Norma

Post autor: Aspik » 12 cze 2021, o 14:40

a4karo pisze:
12 cze 2021, o 14:11
A skąd ta nierówność w trzecim warunku?
Tak mi się wydaje, że powinno być, ale nie jestem pewien. Jeśli nie jest dobrze, to prosiłbym o wskazówkę jak powinno być.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19468
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3296 razy

Re: Norma

Post autor: a4karo » 12 cze 2021, o 14:45

Może spróbuj tak: Niech \(\displaystyle{ x^*=(x_1,\sqrt2x_2,...,\sqrt{n}x_n)}\) i `||\cdot||` będzie standardowa norma euklidesową.
Wtedy \(\displaystyle{ N(x)=||x^*||}\).
Ostatnio zmieniony 12 cze 2021, o 15:34 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ